Um die beiden gegebenen Ebenen \( E_1 \) und \( E_2 \) zu analysieren, schauen wir uns zunächst die Parameterdarstellungen der Ebenen an. Die Ebene \( E_1 \) ist gegeben durch: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \] Die Ebene \( E_2 \) ist gegeben durch: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \] Um zu überprüfen, ob die Ebenen sich schneiden, parallel sind oder identisch, können wir die Richtungsvektoren und Stützvektoren der beiden Ebenen vergleichen. 1. **Richtungsvektoren von \( E_1 \)**: - \( \vec{d_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \) - \( \vec{d_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \) 2. **Richtungsvektoren von \( E_2 \)**: - \( \vec{d_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) - \( \vec{d_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \) Um zu prüfen, ob die Ebenen parallel sind, können wir die Richtungsvektoren von \( E_1 \) und \( E_2 \) auf Linearunabhängigkeit untersuchen. Wenn die Richtungsvektoren von \( E_1 \) und \( E_2 \) linear unabhängig sind, sind die Ebenen nicht parallel. 3. **Stützvektoren**: - Stützvektor von \( E_1 \): \( \vec{p_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) - Stützvektor von \( E_2 \): \( \vec{p_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) Um den Schnittpunkt der beiden Ebenen zu finden, setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst das entstehende Gleichungssystem. \[ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \] Das ergibt ein System von Gleichungen, das gelöst werden kann, um die Werte von \( \lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2 \) zu finden. Zusammenfassend: Um die Beziehung zwischen den beiden Ebenen zu bestimmen, ist es notwendig, die Richtungsvektoren und Stützvektoren zu analysieren und gegebenenfalls ein Gleichungssystem aufzustellen.