In der Mathematik und insbesondere in der Analysis und linearen Algebra wird der Begriff "Funktional" oft verwendet, um eine spezielle Art von Funktion zu beschreiben, die eine Funktion als Eingabe nimmt und eine Zahl als Ausgabe liefert. Funktionale werden häufig in der Funktionalanalysis untersucht. Ein Funktional \( F \) kann formal als Abbildung \( F: V \rightarrow \mathbb{R} \) (oder \( \mathbb{C} \)) definiert werden, wobei \( V \) ein Vektorraum ist. Ein einfaches Beispiel für ein lineares Funktional ist das Integral eines Funktionsprodukts: \[ F(f) = \int_a^b f(x) g(x) \, dx \] Hierbei ist \( f \) die Funktion, auf die das Funktional angewendet wird, und \( g \) eine feste Funktion. In der Physik und Ingenieurwissenschaften werden Funktionale oft in der Form von Lagrange- oder Hamilton-Funktionalen verwendet, die in der Variationsrechnung und der klassischen Mechanik eine zentrale Rolle spielen. Ein Beispiel für ein Lagrange-Funktional ist: \[ L[q(t), \dot{q}(t), t] = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t), \dot{q}(t), t) \, dt \] Hierbei ist \( L \) die Lagrange-Funktion, die von der Koordinate \( q(t) \), der Geschwindigkeit \( \dot{q}(t) \) und der Zeit \( t \) abhängt. Diese Darstellungen zeigen, wie Funktionale in verschiedenen Kontexten verwendet werden können, um Funktionen zu analysieren und zu manipulieren.