Um die ersten fünf Folgenglieder der rekursiven Folge \(d_1 = 1\) und \(d_{n+1} = 3d_n + 1\) zu berechnen, gehen wir schrittweise vor: 1. \(d_1 = 1\) 2. \(d_2 = 3d_1 + 1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4\) 3. \(d_3 = 3d_2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 13\) 4. \(d_4 = 3d_3 + 1 = 3 \cdot 13 + 1 = 40\) 5. \(d_5 = 3d_4 + 1 = 3 \cdot 40 + 1 = 121\) Die ersten fünf Folgenglieder sind also: \(1, 4, 13, 40, 121\). Um eine explizite Darstellung der Folge zu finden, betrachten wir die rekursive Definition. Die allgemeine Form einer solchen rekursiven Folge kann oft durch die Methode der charakteristischen Gleichung oder durch die Analyse der Struktur gefunden werden. Die rekursive Beziehung \(d_{n+1} = 3d_n + 1\) kann umgeformt werden, um eine explizite Formel zu finden. Es ist hilfreich, die Folge umzuformulieren: Setze \(d_n = a_n - 1\), dann wird die Gleichung zu: \[ a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1) + 1 \] Das vereinfacht sich zu: \[ a_{n+1} = 3a_n - 2 \] Die Lösung dieser Gleichung ist eine geometrische Reihe. Die explizite Darstellung kann dann durch die Lösung der homogenen und inhomogenen Teile gefunden werden. Die explizite Formel für \(d_n\) lautet: \[ d_n = \frac{3^n - 1}{2} \] Diese Formel kann durch Induktion oder durch das Einsetzen der ersten Werte überprüft werden.