Eine Zahlenfolge ist eine geordnete Liste von Zahlen, die durch eine bestimmte Regel definiert wird. Es gibt zwei Hauptarten, wie solche Folgen definiert werden können: explizit und rekursiv. 1. **Explizite Zahlenfolge**: Eine explizite Definition einer Zahlenfolge gibt eine direkte Formel an, mit der jedes Glied der Folge berechnet werden kann, ohne dass die vorherigen Glieder bekannt sein müssen. Die Formel hängt in der Regel von der Position des Gliedes in der Folge ab. Beispiel: Die Folge der Quadratzahlen \( a_n = n^2 \) ist explizit definiert. Hier ist \( a_n \) das \( n \)-te Glied der Folge und kann direkt durch Einsetzen von \( n \) berechnet werden. - \( a_1 = 1^2 = 1 \) - \( a_2 = 2^2 = 4 \) - \( a_3 = 3^2 = 9 \) - usw. 2. **Rekursive Zahlenfolge**: Eine rekursive Definition einer Zahlenfolge gibt an, wie jedes Glied der Folge aus einem oder mehreren vorhergehenden Gliedern berechnet wird. Um die Folge zu starten, werden ein oder mehrere Anfangswerte benötigt. Beispiel: Die Fibonacci-Folge ist rekursiv definiert durch: - \( a_1 = 1 \) - \( a_2 = 1 \) - \( a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \) für \( n > 2 \) Hier werden die ersten beiden Glieder der Folge vorgegeben, und jedes weitere Glied wird als Summe der beiden vorhergehenden Glieder berechnet. - \( a_1 = 1 \) - \( a_2 = 1 \) - \( a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2 \) - \( a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3 \) - usw. Beide Arten der Definition haben ihre eigenen Vorteile und Anwendungen, je nachdem, wie die Folge verwendet werden soll und welche Informationen zur Verfügung stehen.