Beweise, dass zu a > 0 genau ein x ∈ R mit x > 0 existiert, sodass xn = a, ohne Stetigkeit.

Um zu zeigen, dass es genau ein \( x \in \mathbb{R} \) mit \( x > 0 \) gibt, so dass \( x^n = a \) für \( a > 0 \) und \( n \in \mathbb{N} \), können wir den folgenden Beweis führen:

1. **Existenz**: Wir zeigen zunächst, dass es mindestens ein \( x > 0 \) gibt, das die Gleichung \( x^n = a \) erfüllt. Betrachte die Funktion \( f(x) = x^n \) für \( x > 0 \). Diese Funktion ist für \( x > 0 \) definiert und nimmt Werte in \( (0, \infty) \) an.

- Für \( x = 1 \) gilt \( f(1) = 1^n = 1 \).
- Für \( x < 1 \) (z.B. \( x = 0.5 \)) gilt \( f(0.5) = (0.5)^n < 1 \).
- Für \( x > 1 \) (z.B. \( x = 2 \)) gilt \( f(2) = 2^n > 1 \).

Da \( f(x) \) monoton wächst und \( f(0) = 0 \) und \( f(1) = 1 \) sowie \( f(x) \to \infty \) für \( x \to \infty \), folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass es ein \( x_0 > 0 \) gibt, so dass \( f(x_0) = a \).

2. **Eindeutigkeit**: Um die Eindeutigkeit zu zeigen, nehmen wir an, es gäbe zwei positive Zahlen \( x_1 \) und \( x_2 \) mit \( x_1^n = a \) und \( x_2^n = a \). Wir nehmen ohne Verlust der Allgemeinheit an, dass \( x_1 < x_2 \). Dann gilt:

\[
x_1^n = a = x_2^n.
\]

Da \( x_1 < x_2 \) und \( n \) eine natürliche Zahl ist, folgt, dass \( x_1^n < x_2^n \). Dies steht im Widerspruch zu der Annahme, dass beide gleich \( a \) sind. Daher muss \( x_1 = x_2 \) gelten.

Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass es genau ein \( x > 0 \) gibt, so dass \( x^n = a \) für \( a > 0 \) und \( n \in \mathbb{N} \).