Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) ist ein mathematisches Verfahren, das eine endliche Folge von komplexen Zahlen in eine andere Folge von komplexen Zahlen umwandelt. Sie wird häufig in der Signalverarbeitung, Bildverarbeitung und in der Analyse von zeitdiskreten Signalen verwendet. Die DFT zerlegt ein Signal in seine Frequenzkomponenten, was bedeutet, dass sie zeigt, wie viel von jeder Frequenz im ursprünglichen Signal enthalten ist. Mathematisch wird die DFT einer Sequenz \( x[n] \) mit \( N \) Punkten definiert als: \[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-2\pi i \frac{kn}{N}} \] für \( k = 0, 1, \ldots, N-1 \). Hierbei ist \( X[k] \) die k-te Frequenzkomponente des Signals, \( e \) die Eulersche Zahl, und \( i \) die imaginäre Einheit. Die DFT hat viele Anwendungen, darunter die Analyse von Frequenzen in Audiosignalen, die Verarbeitung von Bildern und die Lösung von Differentialgleichungen. Ein effizienter Algorithmus zur Berechnung der DFT ist die schnelle Fourier-Transformation (FFT), die die Berechnungszeit erheblich reduziert.