Ein Borel-reguläres Maß ist ein Maß auf einem topischen Raum, das auf der Borel-σ-Algebra definiert ist und die Eigenschaft hat, dass jedes Borel-Menge ein äußeres Maß hat, das durch die Supremum der Maße aller kompakten Teilmengen der Borel-Menge erreicht wird. Das bedeutet, dass für jede Borel-Menge \( A \) gilt: \[ \mu(A) = \sup \{ \mu(K) \mid K \subseteq A, K \text{ kompakt} \} \] Hier sind einige wichtige Punkte zu Borel-regulären Maßen: 1. **Borel-σ-Algebra**: Dies ist die σ-Algebra, die durch die offenen Mengen eines topologischen Raums erzeugt wird. 2. **Kompakte Mengen**: Eine Menge ist kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat. 3. **Äußeres Maß**: Ein äußeres Maß ist eine Funktion, die jeder Teilmenge eines gegebenen Raums eine nicht-negative Zahl zuordnet und bestimmte Eigenschaften wie Monotonie und Subadditivität erfüllt. Borel-reguläre Maße sind besonders in der Maßtheorie und der Wahrscheinlichkeitstheorie von Bedeutung, da sie eine Brücke zwischen der Topologie und der Maßtheorie schlagen. Ein bekanntes Beispiel für ein Borel-reguläres Maß ist das Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen.