Beweise, dass für alle Zahlen a und b gilt: Wenn a + b = 1, dann a² + b² ≥ 0,5?

Question

Beweise, dass für alle Zahlen a und b gilt: Wenn a + b = 1, dann a² + b² ≥ 0,5?

Antwort

Verwandte Fragen

Ist die Riemannsche Vermutung bewiesen?

Beweis des Satzes von Vieta

Einfacher Beweis des Satzes von Vieta.

Satz von Vieta: Verwendung, Voraussetzungen, Beweis, Herleitung und Beispiel.

Accepted Answer

Um zu beweisen, dass für alle Zahlen \( a \) und \( b \) gilt: Wenn \( a + b = 1 \), dann \( a^2 + b^2 \geq 0,5 \), kann man wie folgt vorgehen: 1. Beginne mit der gegebenen Gleichung: \[ a + b = 1 \] 2. Quadratiere beide Seiten der Gleichung: \[ (a + b)^2 = 1^2 \] \[ a^2 + 2ab + b^2 = 1 \] 3. Um die Ungleichung \( a^2 + b^2 \geq 0,5 \) zu beweisen, isolieren wir \( a^2 + b^2 \): \[ a^2 + b^2 = 1 - 2ab \] 4. Setze die Ungleichung \( a^2 + b^2 \geq 0,5 \) in die Gleichung ein: \[ 1 - 2ab \geq 0,5 \] 5. Subtrahiere 1 von beiden Seiten der Ungleichung: \[ -2ab \geq -0,5 \] 6. Multipliziere beide Seiten der Ungleichung mit -1 (beachte, dass sich dabei das Ungleichheitszeichen umkehrt): \[ 2ab \leq 0,5 \] 7. Teile beide Seiten der Ungleichung durch 2: \[ ab \leq 0,25 \] 8. Da \( a \) und \( b \) reelle Zahlen sind und \( a + b = 1 \), können wir die Werte von \( a \) und \( b \) so wählen, dass das Produkt \( ab \) maximal ist. Das Maximum von \( ab \) wird erreicht, wenn \( a = b = 0,5 \): \[ a = b = 0,5 \] \[ ab = 0,5 \times 0,5 = 0,25 \] 9. Da \( ab \leq 0,25 \) für alle \( a \) und \( b \) gilt, die die Bedingung \( a + b = 1 \) erfüllen, folgt daraus: \[ a^2 + b^2 = 1 - 2ab \geq 1 - 2 \times 0,25 = 1 - 0,5 = 0,5 \] Somit ist bewiesen, dass für alle Zahlen \( a \) und \( b \), die die Bedingung \( a + b = 1 \) erfüllen, die Ungleichung \( a^2 + b^2 \geq 0,5 \) gilt.

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Nein, die Riemannsche Vermutung ist bislang nicht bewiesen. Sie gehört zu den berühmtesten ungelösten Problemen der Mathematik. Die Vermutung wurde 1859 von Bernhard Riemann formuliert... [mehr]

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Nein, die Riemannsche Vermutung ist bislang nicht bewiesen. Sie gehört zu den berühmtesten ungelösten Problemen der Mathematik. Die Vermutung wurde 1859 von Bernhard Riemann formuliert und besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion den Realteil 1/2 haben. Trotz vieler Teilerfolge und intensiver Forschung gibt es bis heute keinen allgemein anerkannten Beweis. Die Riemannsche Vermutung ist eines der sieben Millennium-Probleme des Clay Mathematics Institute, für deren Lösung jeweils ein Preis von einer Million US-Dollar ausgelobt ist. Weitere Informationen findest du zum Beispiel auf der [Seite des Clay Mathematics Institute](https://www.claymath.org/millennium-problems/riemann-hypothesis).

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) Der Beweis erfolgt durch Anwendung der Mitternachtsformel zur Bestimmung der Wurzeln eines quadratischen Polynoms. Wenn man die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) aus der Formel \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) ableitet, kann man die oben genannten Beziehungen ableiten. Für höhere Grade von Polynomen gibt es ähnliche Beziehungen, die die Summe und das Produkt der Wurzeln in Bezug auf die Koeffizienten des Polynoms darstellen.

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) **Ein einfacher Beweis:** 1. **Polynom umformen:** Beginne mit der allgemeinen Form des quadratischen Polynoms: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] 2. **Wurzeln ausdrücken:** Angenommen, die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) sind Lösungen der Gleichung. Dann kann das Polynom auch als Produkt der Wurzeln geschrieben werden: \[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \] 3. **Ausmultiplizieren:** Multipliziere die Klammern aus: \[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \] Dies ergibt: \[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \] 4. **Vergleich der Koeffizienten:** Vergleiche die Koeffizienten mit der ursprünglichen Form \( ax^2 + bx + c = 0 \): - Der Koeffizient von \( x \) gibt uns \( -a(x_1 + x_2) = b \), was zu \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) führt. - Der konstante Term ergibt \( ax_1x_2 = c \), was zu \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) führt. Somit sind die Beziehungen, die der Satz von Vieta beschreibt, bewiesen.

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Er ist besonders nützlich in der Algebra, um Informationen über dieur... [mehr]

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Er ist besonders nützlich in der Algebra, um Informationen über dieurzeln eines Polynoms zu gewinnen, ohne sie explizit zu berechnen. ### Voraussetzungen Der Satz von Vieta gilt für ein Polynom n-ten Grades der Form: \[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \] wobei \( a_n \neq 0 \) und die Wurzeln \( r_1, r_2, \ldots, r_n \) des Polynoms betrachtet werden. ### Verwendung Der Satz wird verwendet, um die Summe und das Produkt der Wurzeln eines Polynoms in Bezug auf die Koeffizienten zu bestimmen. Für ein Polynom der Form \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \) gilt: - Die Summe der Wurzeln (mit Vorzeichenwechsel) ist gegeben durch: \[ r_1 + r_2 + \ldots + r_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \] - Das Produkt der Wurzeln (bei geradem n mit Vorzeichenwechsel) ist gegeben durch: \[ r_1 \cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \] ### Beweis Der Beweis erfolgt durch Induktion über den Grad des Polynoms. Für den Basisfall (n=1) ist der Satz trivial, da ein lineares Polynom \( P(x) = a_1 x + a_0 \) nur eine Wurzel hat, die direkt aus der Gleichung abgeleitet werden kann. Für den Induktionsschritt nimmt man an, dass der Satz für ein Polynom n-ten Grades gilt und zeigt, dass er auch für ein Polynom (n+1)-ten Grades gilt. Man kann das Polynom in der Form \( P(x) = a_n (x - r)(x^{n} + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_0) \) schreiben und die Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Wurzeln ableiten. ### Herleitung Die Herleitung des Satzes von Vieta erfolgt durch die Betrachtung der Faktorisierung eines Polynoms. Wenn man ein Polynom in der Form \( P(x) = a_n (x - r_1)(x - r_2) \ldots (x - r_n) \) schreibt, kann man durch Ausmultiplizieren die Koeffizienten in Bezug auf die Wurzeln ausdrücken. ### Beispiel Betrachten wir das Polynom: \[ P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 12 \] Hier sind die Koeffizienten: - \( a_n = 2 \) - \( a_{n-1} = -6 \) - \( a_0 = -12 \) Anwendung des Satzes von Vieta: 1. **Summe der Wurzeln**: \[ r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{-6}{2} = 3 \] 2. **Produkt der Wurzeln**: \[ r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 = (-1)^3 \frac{-12}{2} = 6 \] Diese Beziehungen helfen, die Wurzeln des Polynoms zu analysieren, ohne sie direkt zu berechnen.