Beweise (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)?

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Um zu beweisen, dass \((A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)\), schauen wir uns beide Seiten der Gleichung an und zeigen, dass sie gleich sind. **Beweis:1. **Definition der kartesischen:** - \(A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}\) - \(C \times D = \{(c,) \mid c \in C, d \in D\}\) .Linke Seite:** \[ (A \times B) \cap (C \times D) = \{(x, y) \mid (x, y) \in A \times B \text{ und } (x, y) \in C \times D\} \] Das bedeutet, dass \(x \in A\) und \(y \in B\) sowie \(x \in C\) und \(y \in D\). Daraus folgt: \[ x \in A \cap C \quad \text{und} \quad y \in B \cap D \] Somit können wir schreiben: \[ (A \times B) \cap (C \times D) = \{(x, y) \mid x \in A \cap C, y \in B \cap D\} \] 3. **Rechte Seite:** \[ (A \cap C) \times (B \cap D) = \{(x, y) \mid x \in A \cap C, y \in B \cap D\} \] 4. **Vergleich der beiden Seiten:** Wir sehen, dass beide Seiten die gleiche Menge beschreiben: \[ (A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) \] Damit ist der Beweis abgeschlossen und wir haben gezeigt, dass \((A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)\).

Kategorie: Mathematik Tags: Menge Produkt Schnitt

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