Der Satz von Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse (c) gleich der Summe der Quadrate der Katheten (a und b) ist: \( c^2 = a^2 + b^2 \). Die Umkehrung dieses Satzes besagt, dass wenn in einem Dreieck die Gleichung \( c^2 = a^2 + b^2 \) gilt, das Dreieck rechtwinklig ist. Ein Beweis für die Umkehrung des Satzes von Pythagoras kann wie folgt skizziert werden: 1. **Gegeben**: Ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c, wobei c die längste Seite ist und die Gleichung \( c^2 = a^2 + b^2 \) gilt. 2. **Konstruktion**: Konstruiere ein Quadrat mit der Seitenlänge c, das auf der Seite c des Dreiecks basiert. Innerhalb dieses Quadrats können zwei weitere Quadrate mit den Seitenlängen a und b konstruiert werden. 3. **Flächenberechnung**: Die Fläche des großen Quadrats ist \( c^2 \). Die Flächen der beiden kleineren Quadrate sind \( a^2 \) und \( b^2 \). 4. **Flächenvergleich**: Da die Gleichung \( c^2 = a^2 + b^2 \) gilt, bedeutet dies, dass die Fläche des großen Quadrats gleich der Summe der Flächen der beiden kleineren Quadrate ist. 5. **Schlussfolgerung**: Wenn die Flächenverhältnisse stimmen, dann muss der Winkel gegenüber der Seite c ein rechter Winkel sein, da nur in einem rechtwinkligen Dreieck die Flächenverhältnisse dieser Art gelten. Somit folgt aus der Gültigkeit der Gleichung \( c^2 = a^2 + b^2 \), dass das Dreieck rechtwinklig ist. Dies beweist die Umkehrung des Satzes von Pythagoras.