Um die Aussage \( A \cup B = A \cup (B \setminus A) \) zu beweisen, zeigen wir, dass beide Seiten der Gleichung die gleichen Elemente enthalten. Dazu verwenden wir die Definition der Vereinigungs- und Mengendifferenz. 1. **Beweis in zwei Richtungen:** **Richtung 1: \( A \cup B \subseteq A \cup (B \setminus A) \)** Sei \( x \in A \cup B \). Das bedeutet, dass \( x \) entweder in \( A \) oder in \( B \) ist. - Fall 1: Wenn \( x \in A \), dann ist \( x \in A \cup (B \setminus A) \), da \( A \subseteq A \cup (B \setminus A) \). - Fall 2: Wenn \( x \in B \), dann gibt es zwei Unterfälle: - Wenn \( x \in A \), dann ist \( x \) bereits in \( A \cup (B \setminus A) \). - Wenn \( x \notin A \), dann ist \( x \in B \setminus A \) und somit \( x \in A \cup (B \setminus A) \). In beiden Fällen ist \( x \in A \cup (B \setminus A) \). Daher gilt \( A \cup B \subseteq A \cup (B \setminus A) \). 2. **Richtung 2: \( A \cup (B \setminus A) \subseteq A \cup B \)** Sei \( x \in A \cup (B \setminus A) \). Das bedeutet, dass \( x \) entweder in \( A \) oder in \( B \setminus A \) ist. - Fall 1: Wenn \( x \in A \), dann ist \( x \in A \cup B \), da \( A \subseteq A \cup B \). - Fall 2: Wenn \( x \in B \setminus A \), dann ist \( x \in B \) und \( x \notin A \). Daher ist \( x \in A \cup B \). In beiden Fällen ist \( x \in A \cup B \). Somit gilt \( A \cup (B \setminus A) \subseteq A \cup B \). 3. **Schlussfolgerung:** Da wir gezeigt haben, dass \( A \cup B \subseteq A \cup (B \setminus A) \) und \( A \cup (B \setminus A) \subseteq A \cup B \), folgt, dass: \[ A \cup B = A \cup (B \setminus A) \] Damit ist die Aussage bewiesen.