Die Bernoulli-Ungleichheit ist ein wichtiges Resultat in der Mathematik, das oft in der Analysis und der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet wird. Sie besagt, dass für jede reelle Zahl \( x \geq -1 \) und jede natürliche Zahl \( n \) gilt: \[ (1 + x)^n \geq 1 + nx. \] Diese Ungleichheit ist besonders nützlich, wenn man mit Folgen und deren Konvergenz arbeitet, da sie hilft, Abschätzungen zu formulieren. In Bezug auf die Konvergenz von Folgen kann die Bernoulli-Ungleichheit verwendet werden, um zu zeigen, dass bestimmte Folgen, die in der Form \( a_n = (1 + x_n)^{n} \) für \( x_n \) gegen 0 konvergieren, ebenfalls konvergieren. Wenn \( x_n \) eine Folge ist, die gegen 0 konvergiert, dann kann man die Bernoulli-Ungleichheit nutzen, um zu zeigen, dass die Folge \( a_n \) nicht nur beschränkt bleibt, sondern auch gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Bernoulli-Ungleichheit ein nützliches Werkzeug ist, um die Konvergenz von Folgen zu analysieren und zu beweisen, indem sie hilft, die Werte der Folgen abzuschätzen.