Die Beweisidee, dass der Bernoulli-Shift chaotisch im Sinne von Li-Yorke, basiert auf der Untersuchung der dynamischen Eigenschaften des Systems. Der Bernoulli-Shift ist ein klassisches Beispiel für ein chaotisches System, das auf einer unendlichen Sequenz von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen basiert. 1. **Definition des Bernoulli-Shifts**: Der Bernoulli-Shift ist ein dynamisches System, das auf einer Menge von Sequenzen basiert, wobei jede Sequenz durch eine Verschiebung (Shift) erzeugt wird. Formal wird es oft als eine Abbildung auf dem Raum der unendlichen Sequenzen definiert. 2. **Li-Yorke-Chaos**: Ein System ist Li-Yorke-chaotisch, wenn es eine unendliche Menge von Punkten gibt, die sowohl chaotisches Verhalten als auch eine gewisse Form von Ordnung aufweisen. Genauer gesagt, es gibt eine unendliche Menge von Punkten, die nicht asymptotisch unabhängig sind. 3. **Beweisansatz**: Um zu zeigen, dass der Bernoulli-Shift Li-Yorke-chaotisch ist, wird oft gezeigt, dass es eine unendliche Menge von Punkten gibt, die in einem bestimmten Sinne "nah beieinander" liegen, aber dennoch chaotisches Verhalten aufweisen. Dies geschieht typischerweise durch die Konstruktion von speziellen Sequenzen oder durch die Analyse der Trajektorien des Systems. 4. **Konstruktion von Punkten**: Man kann spezifische Punkte im Bernoulli-Shift identifizieren, die eine bestimmte Struktur aufweisen, um zu zeigen, dass sie die Eigenschaften von Li-Yorke-Chaos erfüllen. Diese Punkte können so gewählt werden, dass sie in der Nähe zueinander liegen, aber dennoch unterschiedliche dynamische Eigenschaften aufweisen. 5. **Schlussfolgerung**: Durch die Kombination dieser Elemente kann man zeigen, dass der Bernoulli-Shift sowohl chaotisch ist als auch die spezifischen Eigenschaften aufweist, die für Li-Yorke-Chaos erforderlich sind. Insgesamt beruht der Beweis auf der Analyse der Struktur des Bernoulli-Shifts und der Identifikation von Punkten, die die chaotischen Eigenschaften des Systems verdeutlichen.