Beispiel für den Fixpunktsatz.

Question

Beispiel für den Fixpunktsatz.

Antwort

Verwandte Fragen

Beweis des Satzes von Vieta

Einfache Erklärung des Satzes von Vieta und dessen Verwendung.

Satz von Vieta: Verwendung, Voraussetzungen, Beweis, Herleitung und Beispiel.

Was ist der Satz von Vieta?

Erkläre die Divergenz an einem Beispiel.

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Der Fixpunktsatz, insbesondere der Banachschen Fixpunktsatz, besagt, dass eine kontraktive Abbildung auf einem kompakten, vollständigen Raum einen eindeutigen Fixpunkt hat. Ein einfaches Beispiel ist die Funktion \( f(x) = \frac{x}{2} \) auf dem Intervall \([0, 1]\). 1. **Abbildung**: \( f: [0, 1] \to [0, 1] \) definiert durch \( f(x) = \frac{x}{2} \). 2. **Fixpunkt**: Ein Fixpunkt \( x^* \) erfüllt \( f(x^*) = x^* \). Hier setzen wir \( x^* = \frac{x^*}{2} \), was nur die Lösung \( x^* = 0 \) ergibt. 3. **Kontraktivität**: Für \( x, y \in [0, 1] \) gilt \( |f(x) - f(y)| = \left| \frac{x}{2} - \frac{y}{2} \right| = \frac{1}{2} |x - y| \). Da \( \frac{1}{2} < 1 \), ist \( f \) kontraktiv. Somit hat die Funktion \( f(x) = \frac{x}{2} \) einen eindeutigen Fixpunkt bei \( x^* = 0 \).

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) Der Beweis erfolgt durch Anwendung der Mitternachtsformel zur Bestimmung der Wurzeln eines quadratischen Polynoms. Wenn man die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) aus der Formel \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) ableitet, kann man die oben genannten Beziehungen ableiten. Für höhere Grade von Polynomen gibt es ähnliche Beziehungen, die die Summe und das Produkt der Wurzeln in Bezug auf die Koeffizienten des Polynoms darstellen.

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Der Satz von Vieta beschreibt eine Beziehung zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln (Lösungen) dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0... [mehr]

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Der Satz von Vieta beschreibt eine Beziehung zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln (Lösungen) dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) Verwendung findet der Satz von Vieta häufig in der Algebra, um Wurzeln von Gleichungen zu bestimmen, ohne sie direkt zu berechnen. Er ist besonders nützlich, um Eigenschaften der Wurzeln zu analysieren oder um Gleichungen zu lösen, wenn die Wurzeln nicht explizit bekannt sind.

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Er ist besonders nützlich in der Algebra, um Informationen über dieur... [mehr]

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Er ist besonders nützlich in der Algebra, um Informationen über dieurzeln eines Polynoms zu gewinnen, ohne sie explizit zu berechnen. ### Voraussetzungen Der Satz von Vieta gilt für ein Polynom n-ten Grades der Form: \[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \] wobei \( a_n \neq 0 \) und die Wurzeln \( r_1, r_2, \ldots, r_n \) des Polynoms betrachtet werden. ### Verwendung Der Satz wird verwendet, um die Summe und das Produkt der Wurzeln eines Polynoms in Bezug auf die Koeffizienten zu bestimmen. Für ein Polynom der Form \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \) gilt: - Die Summe der Wurzeln (mit Vorzeichenwechsel) ist gegeben durch: \[ r_1 + r_2 + \ldots + r_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \] - Das Produkt der Wurzeln (bei geradem n mit Vorzeichenwechsel) ist gegeben durch: \[ r_1 \cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \] ### Beweis Der Beweis erfolgt durch Induktion über den Grad des Polynoms. Für den Basisfall (n=1) ist der Satz trivial, da ein lineares Polynom \( P(x) = a_1 x + a_0 \) nur eine Wurzel hat, die direkt aus der Gleichung abgeleitet werden kann. Für den Induktionsschritt nimmt man an, dass der Satz für ein Polynom n-ten Grades gilt und zeigt, dass er auch für ein Polynom (n+1)-ten Grades gilt. Man kann das Polynom in der Form \( P(x) = a_n (x - r)(x^{n} + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_0) \) schreiben und die Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Wurzeln ableiten. ### Herleitung Die Herleitung des Satzes von Vieta erfolgt durch die Betrachtung der Faktorisierung eines Polynoms. Wenn man ein Polynom in der Form \( P(x) = a_n (x - r_1)(x - r_2) \ldots (x - r_n) \) schreibt, kann man durch Ausmultiplizieren die Koeffizienten in Bezug auf die Wurzeln ausdrücken. ### Beispiel Betrachten wir das Polynom: \[ P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 12 \] Hier sind die Koeffizienten: - \( a_n = 2 \) - \( a_{n-1} = -6 \) - \( a_0 = -12 \) Anwendung des Satzes von Vieta: 1. **Summe der Wurzeln**: \[ r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{-6}{2} = 3 \] 2. **Produkt der Wurzeln**: \[ r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 = (-1)^3 \frac{-12}{2} = 6 \] Diese Beziehungen helfen, die Wurzeln des Polynoms zu analysieren, ohne sie direkt zu berechnen.

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und seinen Wurzeln. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \... [mehr]

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und seinen Wurzeln. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) Diese Beziehungen lassen sich auch auf Polynome höheren Grades erweitern, wobei die Summe und das Produkt der Wurzeln in Abhängigkeit von den Koeffizienten des Polynoms ausgedrückt werden können.

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Divergenz ist ein Konzept aus der Vektoranalysis, das beschreibt, wie viel eine Vektorfeldquelle oder -senke einem bestimmten Punkt hat. Ein einfaches Beispiel ist das Verhalten von Wasser in einem Wa... [mehr]

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Divergenz ist ein Konzept aus der Vektoranalysis, das beschreibt, wie viel eine Vektorfeldquelle oder -senke einem bestimmten Punkt hat. Ein einfaches Beispiel ist das Verhalten von Wasser in einem Wasserstrahl. Stell dir vor, du hast einen Wasserstrahl, der aus einem Schlauch kommt. An jedem Punkt im Raum um den Wasserstrahl herum kannst du messen, wie viel Wasser in diesen Punkt hinein- oder herausfließt. - Wenn mehr Wasser aus einem Punkt herausfließt als hineinfließt, hat dieser Punkt eine positive Divergenz. Das bedeutet, dass es dort eine Quelle gibt. - Wenn mehr Wasser in einen Punkt hineinfließt als herausfließt, hat dieser Punkt eine negative Divergenz. Das bedeutet, dass es dort eine Senke gibt. - Wenn die Menge an Wasser, die hinein- und herausfließt, gleich ist, ist die Divergenz null. Mathematisch wird die Divergenz eines Vektorfeldes \(\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3)\) in drei Dimensionen durch die Formel \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}\) definiert. Hierbei steht \(\nabla \cdot\) für den Divergenzoperator. Dieses Konzept findet Anwendung in verschiedenen Bereichen, wie der Fluiddynamik, Elektrodynamik und vielen anderen physikalischen Disziplinen.