Ein Beispiel für coextensive Mengen sind die folgenden beiden Mengen: - Menge A: {x | x ist ein natürlicher Zahl und x ist eine Primzahl kleiner als 10} - Menge B: {2, 3, 5, 7} Beide Menge... [mehr]
Beispiel für den Fixpunktsatz.
AntwortDer Fixpunktsatz, insbesondere der Banachschen Fixpunktsatz, besagt, dass eine kontraktive Abbildung auf einem kompakten, vollständigen Raum einen eindeutigen Fixpunkt hat. Ein einfaches Beispiel ist die Funktion \( f(x) = \frac{x}{2} \) auf dem Intervall \([0, 1]\). 1. **Abbildung**: \( f: [0, 1] \to [0, 1] \) definiert durch \( f(x) = \frac{x}{2} \). 2. **Fixpunkt**: Ein Fixpunkt \( x^* \) erfüllt \( f(x^*) = x^* \). Hier setzen wir \( x^* = \frac{x^*}{2} \), was nur die Lösung \( x^* = 0 \) ergibt. 3. **Kontraktivität**: Für \( x, y \in [0, 1] \) gilt \( |f(x) - f(y)| = \left| \frac{x}{2} - \frac{y}{2} \right| = \frac{1}{2} |x - y| \). Da \( \frac{1}{2} < 1 \), ist \( f \) kontraktiv. Somit hat die Funktion \( f(x) = \frac{x}{2} \) einen eindeutigen Fixpunkt bei \( x^* = 0 \).
