Beispiel für den Fixpunktsatz.

Der Fixpunktsatz, insbesondere der Banachschen Fixpunktsatz, besagt, dass eine kontraktive Abbildung auf einem kompakten, vollständigen Raum einen eindeutigen Fixpunkt hat. Ein einfaches Beispiel ist die Funktion \( f(x) = \frac{x}{2} \) auf dem Intervall \([0, 1]\). 1. **Abbildung**: \( f: [0, 1] \to [0, 1] \) definiert durch \( f(x) = \frac{x}{2} \). 2. **Fixpunkt**: Ein Fixpunkt \( x^* \) erfüllt \( f(x^*) = x^* \). Hier setzen wir \( x^* = \frac{x^*}{2} \), was nur die Lösung \( x^* = 0 \) ergibt. 3. **Kontraktivität**: Für \( x, y \in [0, 1] \) gilt \( |f(x) - f(y)| = \left| \frac{x}{2} - \frac{y}{2} \right| = \frac{1}{2} |x - y| \). Da \( \frac{1}{2} < 1 \), ist \( f \) kontraktiv. Somit hat die Funktion \( f(x) = \frac{x}{2} \) einen eindeutigen Fixpunkt bei \( x^* = 0 \).