1000 Menschen werden auf HIV untersucht. 1% hat HIV. 10% davon werden nicht erkannt. 10% von denen, die HIV negativ sind, werden fälschlicherweise als positiv erkannt.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Person aus dieser Gruppe tatsächlich HIV-positiv ist, wenn der Test positiv ausfällt, kann der Satz von Bayes verwendet werden. Hier sind die gegebenen Informationen:

- Gesamtzahl der Personen: 1000
- Prozentsatz der Personen mit HIV: 1% (also 10 Personen)
- Falsch-negative Rate (Personen mit HIV, die als negativ getestet werden): 10% (also 1 Person)
- Falsch-positive Rate (Personen ohne HIV, die als positiv getestet werden): 10%

Zuerst berechnen wir die Anzahl der Personen in jeder Kategorie:

1. **Personen mit HIV:**
- Tatsächlich HIV-positiv: 10 Personen
- Falsch-negative (HIV-positiv, aber negativ getestet): 10% von 10 = 1 Person
- Richtig-positive (HIV-positiv und positiv getestet): 10 - 1 = 9 Personen

2. **Personen ohne HIV:**
- Tatsächlich HIV-negativ: 1000 - 10 = 990 Personen
- Falsch-positive (HIV-negativ, aber positiv getestet): 10% von 990 = 99 Personen
- Richtig-negative (HIV-negativ und negativ getestet): 990 - 99 = 891 Personen

Nun berechnen wir die Gesamtzahl der positiven Testergebnisse:

- Positive Testergebnisse insgesamt: Richtig-positive + Falsch-positive = 9 + 99 = 108

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich HIV-positiv ist, wenn der Test positiv ausfällt, ist:

\[ \text{P(HIV-positiv | Test-positiv)} = \frac{\text{Anzahl der richtig-positiven}}{\text{Gesamtzahl der positiven Testergebnisse}} = \frac{9}{108} = \frac{1}{12} \approx 0,0833 \]

Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich HIV-positiv ist, wenn der Test positiv ausfällt, beträgt etwa 8,33%.