2 Fragen zu Unitaer

Um zu zeigen, dass die lineare Abbildung \(\varphi: V \to V\), definiert durch \(\phi(x) = Ax\), normal, aber nicht unitär und auch nicht selbstadjungiert ist, müssen wir die Eigenschaften der Matrix \(A\) untersuchen. Hier sind die Schritte, die du befolgen kannst: 1. **Normalität**: Eine Matrix \(A\) ist normal, wenn \(A A^* = A^* A\), wobei \(A^*\) die adjungierte (konjugiert transponierte) Matrix von \(A\) ist. Um zu zeigen, dass \(\varphi\) normal ist, musst du überprüfen, ob diese Bedingung erfüllt ist. - Berechne \(A A^*\). - Berechne \(A^* A\). - Vergleiche die beiden Ergebnisse. Wenn sie gleich sind, ist \(A\) normal. 2. **Unitärität**: Eine Matrix \(A\) ist unitär, wenn \(A A^* = I\), wobei \(I\) die Einheitsmatrix ist. Um zu zeigen, dass \(\varphi\) nicht unitär ist, musst du überprüfen, ob diese Bedingung nicht erfüllt ist. - Berechne \(A A^*\). - Vergleiche das Ergebnis mit der Einheitsmatrix \(I\). Wenn sie nicht gleich sind, ist \(A\) nicht unitär. 3. **Selbstadjungiertheit**: Eine Matrix \(A\) ist selbstadjungiert (hermitesch), wenn \(A = A^*\). Um zu zeigen, dass \(\varphi\) nicht selbstadjungiert ist, musst du überprüfen, ob diese Bedingung nicht erfüllt ist. - Berechne \(A^*\). - Vergleiche \(A\) mit \(A^*\). Wenn sie nicht gleich sind, ist \(A\) nicht selbstadjungiert. ### Beispiel Angenommen, \(A\) ist eine \(4 \times 4\) Matrix. Hier ist ein Beispiel, wie du die Schritte durchführen kannst: 1. **Normalität**: Sei \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Berechne \(A^*\): \(A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Berechne \(A A^*\): \(A A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Berechne \(A^* A\): \(A^* A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \

In der unitären Gruppe U(1) bezeichnet die Zahl 1 die Identität der Gruppe. U(1) ist die Gruppe der komplexen Zahlen mit Betrag 1, die sich auf dem Einheitskreis im komplexen Zahlenraum befinden. Mathematisch ausgedrückt sind die Elemente von U(1) in der Form \( e^{i\theta} \), wobei \( \theta \) ein reeller Parameter ist. Die Zahl 1 entspricht dem Element \( e^{i \cdot 0} \), was die Identität in dieser Gruppe darstellt.