2 Fragen zu Startguthaben

Um zu berechnen, wie viele Monate du dir bei einem Startguthaben von 35.000 € jeden Monat 200 € auszahlen kannst, wenn das Guthaben mit 2 % pro Jahr verzinst wird, nutzt man die sogenannte Rentenformel für eine nachschüssige Entnahme (monatliche Auszahlung am Monatsende): **Formel:** \[ n = \frac{\ln\left(\frac{R}{R - K \cdot (1 + i)}\right)}{\ln(1 + i)} \] - \( n \): Anzahl der Monate - \( R \): Startkapital (35.000 €) - \( K \): monatliche Auszahlung (200 €) - \( i \): monatlicher Zinssatz (2 % p.a. → 0,02/12 ≈ 0,0016667) **Einsetzen der Werte:** 1. Monatlicher Zinssatz: \[ i = \frac{0,02}{12} = 0,0016667 \] 2. Einsetzen in die Formel: \[ n = \frac{\ln\left(\frac{35.000}{35.000 - 200 \cdot (1 + 0,0016667)}\right)}{\ln(1 + 0,0016667)} \] Zuerst den Nenner im Bruch: \[ 200 \cdot (1 + 0,0016667) = 200 \cdot 1,0016667 = 200,33334 \] \[ 35.000 - 200,33334 = 34.799,66666 \] \[ \frac{35.000}{34.799,66666} = 1,005755 \] \[ \ln(1,005755) = 0,005739 \] \[ \ln(1 + 0,0016667) = \ln(1,0016667) = 0,001665 \] \[ n = \frac{0,005739}{0,001665} = 3,448 \] Das Ergebnis ist offensichtlich zu niedrig, da ein Fehler in der Formel-Anwendung vorliegt. Die korrekte Formel für die Laufzeit einer Rentenentnahme lautet: \[ n = \frac{\ln\left(\frac{K}{K - R \cdot i}\right)}{\ln(1 + i)} \] Setze die Werte ein: - \( K = 200 \) - \( R = 35.000 \) - \( i = 0,0016667 \) \[ K - R \cdot i = 200 - 35.000 \cdot 0,0016667 = 200 - 58,3345 = 141,6655 \] \[ \frac{K}{K - R \cdot i} = \frac{200}{141,6655} = 1,4118 \] \[ \ln(1,4118) = 0,3446 \] \[ \ln(1,0016667) = 0,001665 \] \[ n = \frac{0,3446}{0,001665} = 206,97 \] **Antwort:** Du kannst dir etwa **206 Monate** lang jeden Monat 200 € auszahlen, bis das Guthaben aufgebraucht ist. Das entspricht etwa **17 Jahren und 2 Monaten**.

Um zu berechnen, wie viele Monate du dir bei einem Startguthaben von 35.000 € jeden Monat 200 € auszahlen kannst, wenn das Guthaben mit 3 % pro Jahr verzinst wird, nutzt man die Formel für die sogenannte Rentenendwertformel (Entnahmeplan mit Zins): **Gegeben:** - Startkapital \( K_0 = 35.000\,€ \) - monatliche Entnahme \( R = 200\,€ \) - Zinssatz pro Jahr \( p = 3\,\% \) - Zinssatz pro Monat \( i = \frac{3\,\%}{12} = 0,25\,\% = 0,0025 \) **Gesucht:** Anzahl der Monate \( n \), bis das Guthaben aufgebraucht ist. **Formel:** \[ K_0 = R \cdot \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i} \] Umgestellt nach \( n \): \[ n = -\frac{\ln\left(1 - \frac{K_0 \cdot i}{R}\right)}{\ln(1 + i)} \] **Einsetzen der Werte:** \[ i = 0,0025 \] \[ \frac{K_0 \cdot i}{R} = \frac{35.000 \cdot 0,0025}{200} = \frac{87,5}{200} = 0,4375 \] \[ 1 - 0,4375 = 0,5625 \] \[ \ln(0,5625) \approx -0,5754 \] \[ \ln(1 + 0,0025) \approx 0,00249688 \] \[ n = -\frac{-0,5754}{0,00249688} \approx 230,5 \] **Antwort:** Du kannst dir etwa **230 Monate** lang jeden Monat 200 € auszahlen, bis das Guthaben aufgebraucht ist. Das entspricht etwa **19 Jahren und 2 Monaten**.