2 Fragen zu Quaternion

Um den Quaternionenbetrag (auch Norm oder Magnitude genannt) eines Quaternions \( q = (x, y, z, w) \) zu berechnen, verwendet man die folgende Formel: \[ \|q\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + w^2} \] Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess: 1. Quadriere jede der Komponenten des Quaternions: \( x^2 \), \( y^2 \), \( z^2 \), und \( w^2 \). 2. Addiere die quadrierten Werte: \( x^2 + y^2 + z^2 + w^2 \). 3. Ziehe die Quadratwurzel der Summe: \( \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + w^2} \). Das Ergebnis ist die Norm des Quaternions.

Um Winkelangaben in Quaternionen (x, y, z, w) in Grad umzurechnen, musst du die Quaternionen zunächst in Euler-Winkel umwandeln. Hier ist eine allgemeine Methode, um dies zu tun: 1. **Quaternion in Euler-Winkel umwandeln:** Angenommen, du hast einen Quaternion \( q = (x, y, z, w) \). Die Euler-Winkel (Roll, Pitch, Yaw) können wie folgt berechnet werden: - **Roll (X-Achse-Rotation):** \[ \text{Roll} = \text{atan2}(2(yz + wx), 1 - 2(x^2 + y^2)) \] - **Pitch (Y-Achse-Rotation):** \[ \text{Pitch} = \text{asin}(2(xz - wy)) \] - **Yaw (Z-Achse-Rotation):** \[ \text{Yaw} = \text{atan2}(2(xy + wz), 1 - 2(y^2 + z^2)) \] 2. **Umwandlung in Grad:** Die resultierenden Winkel sind in Radiant. Um sie in Grad umzurechnen, multipliziere jeden Winkel mit \(\frac{180}{\pi}\). \[ \text{Roll (in Grad)} = \text{Roll (in Radiant)} \times \frac{180}{\pi} \] \[ \text{Pitch (in Grad)} = \text{Pitch (in Radiant)} \times \frac{180}{\pi} \] \[ \text{Yaw (in Grad)} = \text{Yaw (in Radiant)} \times \frac{180}{\pi} \] Hier ist ein Beispiel in Python, um dies zu verdeutlichen: ```python import math def quaternion_to_euler(x, y, z, w): # Roll (x-axis rotation) sinr_cosp = 2 * (w * x + y * z) cosr_cosp = 1 - 2 * (x * x + y * y) roll = math.atan2(sinr_cosp, cosr_cosp) # Pitch (y-axis rotation) sinp = 2 * (w * y - z * x) if abs(sinp) >= 1: pitch = math.copysign(math.pi / 2, sinp) # use 90 degrees if out of range else: pitch = math.asin(sinp) # Yaw (z-axis rotation) siny_cosp = 2 * (w * z + x * y) cosy_cosp = 1 - 2 * (y * y + z * z) yaw = math.atan2(siny_cosp, cosy_cosp) # Convert radians to degrees roll = math.degrees(roll) pitch = math.degrees(pitch) yaw = math.degrees(yaw) return roll, pitch, yaw # Beispiel-Quaternion x, y, z, w = 0.0, 0.0, 0.0, 1.0 roll, pitch, yaw = quaternion_to_euler(x, y, z, w) print(f"Roll: {roll}, Pitch: {pitch}, Yaw: {yaw}") ``` Diese Methode konvertiert Quaternionen in Euler-Winkel und gibt sie in Grad zurück.