2 Fragen zu Parabelbogen

Die Kölner Lanxess-Arena ist ein beeindruckendes Beispiel moderner Architektur und Ingenieurskunst. Der Parabelbogen aus Stahlbeton, der das Dach trägt, ist nicht nur funktional, sondern auch ästhetisch ansprechend. Mit einer maximalen Höhe von 73 Metern bietet der Bogen nicht nur strukturelle Stabilität, sondern ermöglicht auch eine großzügige Innenraumgestaltung. Diese Bauweise trägt zur Akustik und zur Sichtbarkeit bei Veranstaltungen in der Arena bei.

Um das größte Rechteck zwischen dem Parabelbogen \( y = \frac{1 - x^2}{4} \) und der x-Achse zu finden, muss die Fläche des Rechtecks maximiert werden. Das Rechteck hat seine Basis auf der x-Achse und seine obere Seite auf der Parabel. 1. **Bestimme die Funktion für die Fläche des Rechtecks:** Die Höhe des Rechtecks ist \( y = \frac{1 - x^2}{4} \). Da das Rechteck symmetrisch zur y-Achse ist, reicht es, die Hälfte der Basis zu betrachten, also von \(-a\) bis \(a\). Die Breite des Rechtecks ist \(2a\) (von \(-a\) bis \(a\)). Die Fläche \(A\) des Rechtecks ist dann: \[ A = \text{Breite} \times \text{Höhe} = 2a \times \frac{1 - a^2}{4} \] 2. **Vereinfache die Flächenfunktion:** \[ A(a) = 2a \times \frac{1 - a^2}{4} = \frac{2a(1 - a^2)}{4} = \frac{2a - 2a^3}{4} = \frac{a - a^3}{2} \] 3. **Maximiere die Flächenfunktion:** Um die maximale Fläche zu finden, muss die Ableitung der Flächenfunktion \(A(a)\) gebildet und gleich null gesetzt werden: \[ A(a) = \frac{a - a^3}{2} \] Die Ableitung von \(A(a)\) ist: \[ A'(a) = \frac{d}{da} \left( \frac{a - a^3}{2} \right) = \frac{1 - 3a^2}{2} \] Setze die Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden: \[ \frac{1 - 3a^2}{2} = 0 \] \[ 1 - 3a^2 = 0 \] \[ 3a^2 = 1 \] \[ a^2 = \frac{1}{3} \] \[ a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] Da \(a\) die halbe Breite des Rechtecks ist, betrachten wir nur den positiven Wert: \[ a = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 4. **Berechne die maximale Fläche:** Setze \(a = \frac{1}{\sqrt{3}}\) in die Flächenfunktion ein: \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3}{2} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}}}{2} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1 - \frac{1}{3} \right)}{2} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3}}{2} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\frac{2}{3\sqrt{3}}}{2} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2}{6\sqrt{3}} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{3\sqrt{3}} \] \[ A\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\sqrt{3}}{9} \] Die maximale Fläche des Rechtecks, das zwischen dem Parabelbogen \( y