2 Fragen zu Observablen

Der Kommutator zweier Observablen \( \hat{A} \) und \( \hat{B} \) in der Quantenmechanik ist rein imaginär, wenn die beiden Observablen hermitesch sind und ihre physikalische Bedeutung so ist, dass ihr Kommutator proportional zu einer anderen hermiteschen Observable multipliziert mit der imaginären Einheit \( i \) ist. Mathematisch ausgedrückt: \[ [\hat{A}, \hat{B}] = i \hat{C} \] wobei \( \hat{C} \) eine hermitesche Observable ist. Dies ist oft der Fall bei kanonisch konjugierten Variablen, wie z.B. dem Ort \( \hat{x} \) und dem Impuls \( \hat{p} \), für die gilt: \[ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar \] Hier ist \( \hbar \) das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, eine reelle Zahl, und der Kommutator ist rein imaginär.

In der Quantenmechanik wird der Erwartungswert einer Observablen \( \hat{A} \) in einem Zustand \( |\psi\rangle \) durch den Ausdruck \[ \langle \hat{A} \rangle = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle \] definiert. Hierbei ist \( |\psi\rangle \) der Zustandsvektor des Systems im Hilbertraum, und \( \hat{A} \) ist der Operator, der die Observable repräsentiert. Der Erwartungswert gibt den Mittelwert der Messungen der Observablen \( \hat{A} \) an, wenn das System sich im Zustand \( |\psi\rangle \) befindet und viele Messungen durchgeführt werden.