3 Fragen zu Muenzwurf

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei dreimaligem Werfen einer fairen Münze genau zweimal Zahl erscheint, kann die Binomialverteilung verwendet werden. Die Wahrscheinlichkeit \( P \) für genau \( k \) Erfolge (Zahl) in \( n \) Versuchen (Würfe) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit \( p \) (für Zahl) ist gegeben durch: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] In diesem Fall: - \( n = 3 \) (drei Würfe) - \( k = 2 \) (genau zweimal Zahl) - \( p = 0.5 \) (Wahrscheinlichkeit für Zahl bei einem Wurf) Setze die Werte in die Formel ein: \[ P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{3-2} \] Berechne die Binomialkoeffizienten: \[ \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3 \] Setze dies in die Gleichung ein: \[ P(X = 2) = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^1 \] \[ P(X = 2) = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 \] \[ P(X = 2) = 3 \cdot 0.125 \] \[ P(X = 2) = 0.375 \] Die Wahrscheinlichkeit, dass bei dreimaligem Werfen einer Münze genau zweimal Zahl erscheint, beträgt also 0,375 oder 37,5 %.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei drei Würfen einer Münze höchstens einmal Zahl fällt, betrachten wir die möglichen Ergebnisse. Die möglichen Ergebnisse für drei Würfe sind: - 0 Mal Zahl (d.h. 3 Mal Kopf) - 1 Mal Zahl (d.h. 1 Mal Zahl und 2 Mal Kopf) 1. **Wahrscheinlichkeit für 0 Mal Zahl (3 Mal Kopf)**: - Es gibt nur eine Möglichkeit: KKK. - Die Wahrscheinlichkeit dafür ist \( P(0) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \). 2. **Wahrscheinlichkeit für 1 Mal Zahl**: - Es gibt drei Möglichkeiten: ZKK, KZK, KKZ. - Die Wahrscheinlichkeit dafür ist \( P(1) = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \). Jetzt addieren wir die Wahrscheinlichkeiten für 0 und 1 Mal Zahl: \[ P(\text{höchstens 1 Mal Zahl}) = P(0) + P(1) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}. \] Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens einmal Zahl fällt, beträgt also \( \frac{1}{2} \) oder 50%.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Münzwurf Kopf zu werfen, bleibt unabhängig von vorherigen Ergebnissen konstant. Bei einem fairen Münzwurf beträgt die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu werfen, 50 % oder 0,5. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, erneut Kopf zu werfen, auch nach drei aufeinanderfolgenden Kopf-Würfen weiterhin 50 % beträgt.