2 Fragen zu Irrationalitaet

Der Beweis von Stanley Tennenbaum zur Irrationalität von \(\sqrt{2}\) ist besonders anschaulich, weil er auf eine geometrische Argumentation zurückgreift, die leicht verständlich ist. Hier ist eine vereinfachte Darstellung des Beweises: 1. **Annahme**: Angenommen, \(\sqrt{2}\) ist rational, das heißt, es gibt zwei ganze Zahlen \(a\) und \(b\) (mit \(b \neq 0\)), sodass \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\) und der Bruch \(\frac{a}{b}\) vollständig gekürzt ist (d.h. \(a\) und \(b\) sind teilerfremd). 2. **Quadratbildung**: Daraus folgt \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\), also \(2 = \frac{a^2}{b^2}\) und somit \(a^2 = 2b^2\). 3. **Parität**: Da \(a^2\) gerade ist (weil es das Doppelte einer ganzen Zahl ist), muss auch \(a\) gerade sein (denn das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade). Sei \(a = 2k\) für eine ganze Zahl \(k\). 4. **Einsetzen**: Setze \(a = 2k\) in die Gleichung \(a^2 = 2b^2\) ein: \((2k)^2 = 2b^2\), was zu \(4k^2 = 2b^2\) führt, also \(2k^2 = b^2\). 5. **Widerspruch**: Nun ist \(b^2\) ebenfalls gerade, was bedeutet, dass auch \(b\) gerade sein muss. Das steht im Widerspruch zur Annahme, dass \(\frac{a}{b}\) vollständig gekürzt ist, da sowohl \(a\) als auch \(b\) gerade sind und somit einen gemeinsamen Teiler von mindestens 2 haben. Dieser Beweis ist anschaulich, weil er auf einfache algebraische Manipulationen und grundlegende Eigenschaften von geraden und ungeraden Zahlen zurückgreift. Er vermeidet komplexe mathematische Konzepte und bleibt auf einem Niveau, das leicht nachvollziehbar ist.

Transzendente Zahlen sind Zahlen, die keine Lösung einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten sind. Das bedeutet: Es gibt keine Gleichung der Form a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten a₀, a₁, ..., aₙ (wobei aₙ ≠ 0), für die die Zahl x eine Lösung ist. Im Gegensatz dazu nennt man Zahlen, die eine solche Gleichung lösen, algebraische Zahlen. Alle rationalen Zahlen und viele irrationalen Zahlen (wie √2) sind algebraisch. Transzendente Zahlen sind also "noch komplizierter" als algebraische Zahlen. Berühmte Beispiele für transzendente Zahlen sind die Kreiszahl π und die Eulersche Zahl e. Es gibt unendlich viele transzendente Zahlen, aber sie sind schwer zu "konstruieren" oder explizit anzugeben.