3 Fragen zu Fakultaeten

Um eine graphische Darstellung der Veränderung der Anzahl immatrikulierten Personen über die Jahre und Fakultäten zu erstellen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Daten sammeln**: Erstelle eine Tabelle mit den relevanten Daten. Die Spalten sollten die Jahre, die Fakultäten und die Anzahl der immatrikulierten Personen enthalten. 2. **Daten aufbereiten**: Stelle sicher, dass die Daten vollständig und korrekt sind. Überprüfe auf fehlende Werte und bereinige die Daten, falls notwendig. 3. **Wahl des Diagrammtyps**: Entscheide, welcher Diagrammtyp am besten geeignet ist. Für zeitliche Veränderungen bieten sich Linien- oder Säulendiagramme an. Wenn du mehrere Fakultäten vergleichen möchtest, könnte ein gruppiertes Säulendiagramm sinnvoll sein. 4. **Diagramm erstellen**: Nutze ein Programm wie Excel, Google Sheets oder spezielle Software wie Tableau oder R, um das Diagramm zu erstellen. Importiere die Daten und wähle den gewünschten Diagrammtyp aus. 5. **Achsen beschriften**: Achte darauf, dass die x-Achse die Jahre und die y-Achse die Anzahl der immatrikulierten Personen darstellt. Füge auch eine Legende hinzu, um die verschiedenen Fakultäten zu kennzeichnen. 6. **Analyse und Interpretation**: Analysiere das Diagramm, um Trends oder Muster zu erkennen. Überlege, welche Faktoren die Veränderungen beeinflusst haben könnten. 7. **Präsentation**: Bereite die graphische Darstellung für die Präsentation vor, indem du sie in ein Dokument oder eine Präsentation einfügst und gegebenenfalls erläuternde Texte hinzufügst. Durch diese Schritte kannst du eine klare und informative graphische Darstellung der immatrikulierten Personen über die Jahre und Fakultäten erstellen.

Um Fakultäten miteinander zu multiplizieren, kannst du die Definition der Fakultät verwenden. Die Fakultät einer natürlichen Zahl \( n \), dargestellt als \( n! \), ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis \( n \). Wenn du zwei Fakultäten multiplizieren möchtest, zum Beispiel \( n! \) und \( m! \), dann berechnest du einfach: \[ n! \times m! = (1 \times 2 \times \ldots \times n) \times (1 \times 2 \times \ldots \times m) \] Es gibt keine spezielle Regel für die Multiplikation von Fakultäten, außer dass du sie wie normale Zahlen multiplizieren kannst. Wenn du mit größeren Fakultäten arbeitest, kann es hilfreich sein, die Werte zu berechnen oder zu vereinfachen, wenn möglich.

Gegeben ist der Term: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Du möchtest zeigen, wie man diesen Term als \(\frac{n!}{(n-k)!}\) schreiben kann. Hier sind die Schritte: --- **1. Schreibe die Produktform explizit aus:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Das sind genau \(k\) Faktoren, beginnend bei \(n\) und jeweils um 1 kleiner werdend, bis zum Term \(n-k+1\). --- **2. Schreibe die Fakultät \(n!\) aus:** \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] --- **3. Schreibe die Fakultät \((n-k)!\) aus:** \[ (n-k)! = (n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] --- **4. Schreibe den Bruch \(\frac{n!}{(n-k)!}\) aus:** \[ \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot (n-k) \cdots 1}{(n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 1} \] --- **5. Kürze die gemeinsamen Faktoren:** Im Zähler und Nenner stehen die Faktoren \((n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 1\). Diese kürzen sich heraus: \[ \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot \cancel{(n-k) \cdots 1}}{\cancel{(n-k) \cdots 1}} \] --- **6. Übrig bleibt:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] --- **Fazit:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Das ist die gesuchte Umformung.