3 Fragen zu Exp-funktion

Um die Matrix-Exponentialfunktion \(\exp(A)\) für die gegebene Matrix \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 9 & -4 \end{pmatrix}\) zu berechnen, kannst du die Jordan-Normalform oder die Diagonalisierung verwenden. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung Berechnung: 1. **Eigenwerte der Matrix \(A\) finden:** Die Eigenwerte \(\lambda\) der Matrix \(A\) sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung \(\det(A - \lambda I) = 0\). \[ \det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & -1 \\ 9 & -4 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)(-4 - \lambda) - (-1)(9) = \lambda^2 + 2\lambda - 1 \] Die charakteristische Gleichung ist also: \[ \lambda^2 + 2\lambda - 1 = 0 \] Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind die Eigenwerte: \[ \lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} \] 2. **Eigenvektoren der Matrix \(A\) finden:** Für jeden Eigenwert \(\lambda\), finde den zugehörigen Eigenvektor \(v\) durch Lösen des Gleichungssystems \((A - \lambda I)v = 0\). Für \(\lambda_1 = -1 + \sqrt{2}\): \[ \begin{pmatrix} 2 - (-1 + \sqrt{2}) & -1 \\ 9 & -4 - (-1 + \sqrt{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - \sqrt{2} & -1 \\ 9 & -3 - \sqrt{2} \end{pmatrix} \] Löse das Gleichungssystem: \[ (3 - \sqrt{2})v_1 - v_2 = 0 \] \[ 9v_1 + (-3 - \sqrt{2})v_2 = 0 \] Für \(\lambda_2 = -1 - \sqrt{2}\): \[ \begin{pmatrix} 2 - (-1 - \sqrt{2}) & -1 \\ 9 & -4 - (-1 - \sqrt{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + \sqrt{2} & -1 \\ 9 & -3 + \sqrt{2} \end{pmatrix} \] Löse das Gleichungssystem: \[ (3 + \sqrt{2})v_1 - v_2 = 0 \] \[ 9v_1 + (-3 + \sqrt{2})v_2 = 0 \] 3. **Diagonalisierung der Matrix \(A\):** Wenn \(A\) diagonalisierbar ist, dann existiert eine invertierbare Matrix \(P\) und eine Diagonalmatrix \(D\) so, dass \(A = PDP^{-1}\), wobei \(D\) die Eigenwerte von \(A\) auf der Diagonale hat. \[ D = \begin{pmatrix} -1 + \sqrt{2} & 0 \\ 0 & -1 - \sqrt{2} \end{pmatrix} \] Die Matrix \(P\) besteht aus den Eigenvektoren von \(A\). 4. **Berechnung der Matrix-Exponentialfunktion:** Die Matrix-Exponentialfunktion von \(A\) ist dann: \[ \exp(A) = P \exp(D) P^{-1} \] Da \(D\) eine Diagonalmatrix ist, ist \(\exp(D)\) einfach die Exponentialfunktion der Diagonalelemente: \[ \exp(D) = \begin{pmatrix} \exp(-1 + \sqrt{2}) & 0 \\ 0 & \exp(-1 - \sqrt{2}) \end{pmatrix} \] Schließlich: \[ \exp(A) = P \begin{pmatrix} \exp(-1 + \sqrt{2}) & 0 \\ 0 & \exp(-1 - \sqrt

Der Wirkstoff bei Temesta Exp ist Lorazepam. Lorazepam gehört zur Gruppe der Benzodiazepine und wird häufig zur Behandlung von Angstzuständen und zur Beruhigung vor medizinischen Eingriffen eingesetzt.

Die Formel \( E = E_0 \exp(kT) \) die Temperaturabhängigkeit der Energie eines Systems, insbesondere in der statistischen Mechanik. Hierbei steht \( E \) die Energie, \( E_0 \) für eine Referenzenergie, \( k \) ist die Boltzmann-Konstante und \( T \) die absolute Temperatur in Kelvin. Diese Beziehung wird häufig verwendet, um die Verteilung von Teilchenenergien in einem thermodynamischen System zu beschreiben, insbesondere in Bezug auf die Besetzungswahrscheinlichkeiten von Energiezuständen bei verschiedenen Temperaturen.