3 Fragen zu Erzeugermatrix

Um eine Erzeugatrix (Generator Matrix) einenamming-Code zu erstellen folge diesen Sch: 1. **imme die Parameter des H-Codes**: - Ein Hamming ist ein \([, k]\)-Code, wobei \(n =2^m -1\) undk = n -\). Hierbei istm\) die der Paritätsbits2. **Er die Paritätsprümatrix \(H\)** - Die Parprüfmatrix \(\) hat die \(m \times\). - Jedealte von \(H) ist eine eindeige nicht-null \(\)-bit Binzahl. 3. **zeuge die Erzeugatrix \(G\: - Diezeugermatrix \(G) hat die Dimensionk \times n). - \(\) besteht aus \(k \times k) Einheitsmatrix \(I_k\) einer \(k \times m\) Matrix \(P\), die aus Spalten von \(H\) besteht, die nicht zur Einheits gehören. Hier ist ein konkretes Beispiel für einen Hamming-Code \([, 4]\) (also \(m = 3\))1. **Bestimme \(n\) und \(k\)**: - \(n = 2^3 - 1 = 7\ - \(k = 7 - 3 = 4\) . **Erstelle die Paritätsprüfmatrix \(H\)** \[ H = \begin{pmatrix} 1 0 & 0 & 1 & 1 & 1 &1 \\ 0 & 1 & 0 & & 1 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 1 & 1 & 0 & 1 & \end{pmatrix} \] 3. **zeuge die Erzeugermatrix \(G\)**: - Die Einmatrix \(I_k\) ist: \[ I_4 \begin{pmatrix} 1 & 0 & & 0 \\ 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix} \] - Die Matrix \(P) besteht aus den ersten \(k\) Spalten von \(H\ \[ P = \begin{pmatrix} & 1 & 1 \\ 1 & 1 &0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] - Kombiniere \(I_k\) und \(\) zu \(G\): \[ G = \beginpmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 \\ 0 &1 & 0 & 0 & 1 & 1 & \\ 0 & 0 & 1 & 0 &1 & 0 & 1 \\ 0 & & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] Die Matrix \(G\ ist die Erzeugermatrix des Hamming-Codes \([7 4]\).

Um die Erzeugatrix eines Codes im H-R zu erstellen, fol diesen Schritten: . **Bestimme Parameter des Hamming-C**: Ein H-Code wird durch die \((n,)\) beschrieben, \(n\) die des Codeworts \(k\) Anzahl der Informationsbits. Der Hamming hat die Eigenschaft, \(n = ^m - \) und \( = n - m\ wobei \(m\ die Anzahl der Parbits ist. 2 **Erstelle dieitätsprüfmatrix \(\)**: DieitätsprüfmatrixH\) hat Dimension \(m \ n\). Jede Sp von \(H\ ist ein eindeut binärer Vektor Länge \(m\ der nicht der Nullve ist. Die Sp von \(H\ repräsentieren dieen der Bits imwort. 3. **Bestimme die Erzeugatrix \(G\)**: Die Erzeugermatrix \(G\ hat die Dimension \(k \times n\). Sie kann aus der Parprüfmatrix \(H\) abgeleitet werden. Die Matrix \(\) besteht aus einer \(k \times k\)-Einheits \(I_k\) und einer \(k \times m\)-MatrixP\), die aus den ersten \(k\) Spalten vonH\) besteht. Die Erzeugermatrix \(G\) die Form: \[ G = [I_k \, |, P] \] wobei \(I_k\) dieheitsmatrix der Größe \(k\) ist und \(P\) die ist, die aus den ersten \(k\) Spalten von \(H) besteht. 4. **Konstruiere die Matrix \(P)**: Die Matrix \(P\) wird aus den ersten \(k\ Spalten der Paritätsprüfmatrix \(H\) gebildet5. **Zusammenfügen der Erzeugermatrix**:üge die Einheitsmatrix \(I_k\) und die Matrix \(P) zusammen, um die Erzeugermatrix \(G\) zu. Beispiel für einen Hamming-Code \((7, 4): - \(n = 7\), \(k = 4\ \(m = 3\) - Paritätsprüfmatrix \(\): \[ H = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & & 0 \\ 1 & 1 & 0 &1 & 0 & 1 & 0 \\ & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 1 \end{pmatrix} \] - MatrixP\) (erste 4 Spalten von \(H\)): \[ P = \begin{pmatrix} 1 &1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 0 & 1 \\ 1 & 0 &1 & 1 \end{pmatrix} \] Einheitsmatrix \(I_4\): \[ I_ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & & 0 \\ 0 & 1 & 0 0 \\ 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] - ErzeugermatrixG\): \[ G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 &1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & & 1 \\ 0 & 0 & 0 &1 & 0 & 1 & 1 \endpmatrix} \] Diese Erzeugermatrix \(G\) verwendet werden, um die Codewörter des Hamming-Codes zu erzeugen.

Um die Erzeugatrix \( G \) line Codes \( C \ zu finden, müssen Codewörter von C \) als Ze in eine Matrix geschrieben, die dann inilenstufenformRow Echelon Form) gebracht wird. Der \( C \) aus den folgenden Codeörtern: \C = \{0,0,00,0,), (0,,1,1,0,1), (,1,00,1,), (0,,1,1,,0), (,0,01,1,0), (1,01,0,,1), (,1,0,1,0,1 (1,11,0,,0)\} ] Schreibe diesewörter als Ze einer Matrix: \\begin{pm} 0 & 0 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 &1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ & 0 & 0 & 1 & 1 & \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & & 0 & 0 \end{pmatrix} \Um die Erzeugermatrix zu finden, müssen wir diese Matrix in Zestufenform bringen. Dies kann durch elementare Zeilenoperationen werden. Die resultierende Matrix in Zeilenstufenform wird die Erermatrix \( G \) sein. Nach Anwendung der elementaren Zeoperationen (die hier nicht im Detail gezeigt werden), erhalten wir die Erermatrix \( G \): \[ G = \begin{pmatrix1 & 0 & 0 & 1 & 1 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &1 & 1 & 0 \end{pmatrix} ] Diese Matrix \( G \) ist die Erzeugermatrix des Codes C \).