3 Fragen zu Druckrohr

Das Verhältnis von mittlerer Fließgeschwindigkeit (\(v_{m}\)) zu maximaler Fließgeschwindigkeit (\(v_{max}\)) in einem Druckrohr hängt von der Strömungsart ab. Bei einer laminaren Strömung in einem kreisförmigen Rohr, die durch die Hagen-Poiseuille-Gleichung beschrieben wird, ist das Verhältnis: \[ \frac{v_{m}}{v_{max}} = \frac{1}{2} \] Das bedeutet, die mittlere Fließgeschwindigkeit ist halb so groß wie die maximale Fließgeschwindigkeit. Bei turbulenter Strömung ist das Verhältnis komplexer und hängt von der spezifischen Geschwindigkeitsverteilung ab, die durch das Geschwindigkeitsprofil beschrieben wird. Ein typisches Geschwindigkeitsprofil für turbulente Strömung ist flacher als das für laminare Strömung, was bedeutet, dass das Verhältnis von mittlerer zu maximaler Geschwindigkeit größer als 0,5 ist, aber der genaue Wert variiert je nach den Bedingungen der Strömung.

Um die Umlenkkraft auf den Ankerklotz zu berechnen, können wir die grundlegenden Prinzipien der Strömungsmechanik und die Gleichung für den Impuls verwenden. Die Umlenkkraft \( F \) kann durch die Änderung des Impulses des Wassers berechnet werden, das durch die Rohrleitung strömt. 1. **Gegebene Werte:** - Querschnittsfläche \( A_1 = A_2 = 3 \, \text{m}^2 \) - Volumenstrom \( Q = 30 \, \text{m}^3/\text{s} \) - Dichte des Wassers \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \) - Eintrittswinkel \( \alpha_1 = 60° \) - Austrittswinkel \( \alpha_2 = 30° \) 2. **Berechnung der Strömungsgeschwindigkeit:** Die Strömungsgeschwindigkeit \( v \) kann aus dem Volumenstrom und der Querschnittsfläche berechnet werden: \[ v = \frac{Q}{A} \] Da \( A_1 = A_2 \), gilt: \[ v_1 = v_2 = \frac{30 \, \text{m}^3/\text{s}}{3 \, \text{m}^2} = 10 \, \text{m/s} \] 3. **Berechnung der Impulsänderung:** Die Impulsänderung pro Zeiteinheit (Kraft) ergibt sich aus der Differenz der Impulsströme: \[ F = \rho \cdot Q \cdot (v_2 \cdot \sin(\alpha_2) - v_1 \cdot \sin(\alpha_1)) \] Setzen wir die Werte ein: \[ F = 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 30 \, \text{m}^3/\text{s} \cdot (10 \, \text{m/s} \cdot \sin(30°) - 10 \, \text{m/s} \cdot \sin(60°)) \] \[ F = 1000 \cdot 30 \cdot (10 \cdot 0.5 - 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \] \[ F = 1000 \cdot 30 \cdot (5 - 5\sqrt{3}) \] \[ F = 30000 \cdot (5 - 5\sqrt{3}) \] 4. **Numerische Berechnung:** \(\sqrt{3} \approx 1.732\), also: \[ F \approx 30000 \cdot (5 - 5 \cdot 1.732) \approx 30000 \cdot (5 - 8.66) \approx 30000 \cdot (-3.66) \] \[ F \approx -109800 \, \text{N} \] Die negative Kraft zeigt an, dass die Richtung der Kraft entgegengesetzt zur angenommenen Richtung ist. Die Umlenkkraft auf den Ankerklotz beträgt also etwa \( 109800 \, \text{N} \) in die entgegengesetzte Richtung.

In einem zylindrischen Druckrohr, das von innen mit einem Überdruck \( p \) beaufschlagt wird, treten zwei Hauptspannungen auf: 1. **Längsspannung (axiale Spannung, \(\sigma_l\)):** Wirkt entlang der Rohrachse. 2. **Radialspannung (\(\sigma_r\)):** Wirkt quer zur Rohrachse, also vom Inneren nach außen. Das **Spannungsverhältnis** von Radialspannung zu Längsspannung hängt davon ab, ob das Rohr als **dünnwandig** oder **dickwandig** betrachtet wird. ### Dünnwandiges Rohr (\(d \gg s\), mit \(d\) = Durchmesser, \(s\) = Wanddicke) Für ein dünnwandiges Rohr gilt näherungsweise: - **Längsspannung:** \(\sigma_l = \frac{p \cdot r}{2s}\) - **Radialspannung:** \(\sigma_r\) ist im Inneren gleich dem Innendruck (\(p\)), fällt aber über die Wanddicke auf null am Außenrand ab. Im Vergleich zur Längsspannung ist sie jedoch deutlich kleiner. Das **Verhältnis** im Inneren (an der Innenseite): \[ \frac{\sigma_r}{\sigma_l} = \frac{p}{\frac{p \cdot r}{2s}} = \frac{2s}{r} \] Da bei dünnwandigen Rohren \(s \ll r\), ist dieses Verhältnis **sehr klein** (typischerweise < 0,1). ### Dickwandiges Rohr Hier wird die Radialspannung mit der Lame’schen Formel berechnet und ist im Inneren maximal (\(=p\)), außen minimal (\(=0\)). Die Längsspannung bleibt wie oben. Auch hier ist die Radialspannung im Vergleich zur Längsspannung **deutlich kleiner**. ### Zusammenfassung - Die **Radialspannung** ist im Vergleich zur **Längsspannung** in einem Druckrohr **deutlich kleiner**. - Das Verhältnis \(\frac{\sigma_r}{\sigma_l}\) ist bei dünnwandigen Rohren sehr klein (typisch < 0,1). - Die Längsspannung ist die maßgebende Größe für die Auslegung von Druckrohren. **Weiterführende Informationen:** - [Wikipedia: Zylinderschale](https://de.wikipedia.org/wiki/Zylinderschale) - [Formelsammlung Maschinenbau: Druckbehälter](https://www.formelsammlung-maschinenbau.de/druckbehaelter.html)