3 Fragen zu Bruchgleichung

Um die Bruchgleichung \(\frac{2x-3}{4x} = x - 1\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Beseitige den Bruch**: Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner \(4x\), um den Bruch zu eliminieren: \[ \frac{2x-3}{4x} \cdot 4x = (x - 1) \cdot 4x \] Das ergibt: \[ 2x - 3 = 4x^2 - 4x \] 2. **Forme die Gleichung um**: Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, um eine Null auf der anderen Seite zu haben: \[ 2x - 3 = 4x^2 - 4x \] Subtrahiere \(2x - 3\) von beiden Seiten: \[ 0 = 4x^2 - 4x - 2x + 3 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 0 = 4x^2 - 6x + 3 \] 3. **Löse die quadratische Gleichung**: Verwende die Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel) \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), wobei \(a = 4\), \(b = -6\) und \(c = 3\): \[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} \] Das ergibt: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48}}{8} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{8} \] 4. **Betrachte die Diskriminante**: Da die Diskriminante (\(b^2 - 4ac\)) negativ ist (\(-12\)), gibt es keine reellen Lösungen für diese Gleichung. Die Bruchgleichung \(\frac{2x-3}{4x} = x - 1\) hat also keine reellen Lösungen.

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der Brüche vorkommen. Diese Gleichungen können eine oder mehrere Variablen enthalten und erfordern oft spezielle Techniken zur Lösung. Um eine Bruchgleichung zu lösen, befolgst du in der Regel die folgenden Schritte: 1. **Bestimme den Definitionsbereich**: Überprüfe, welche Werte für die Variable nicht zulässig sind, da sie zu einer Division durch Null führen würden. 2. **Beseitige die Brüche**: Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner (dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner), um die Brüche zu eliminieren. 3. **Vereinfache die Gleichung**: Nach dem Multiplizieren kannst du die Gleichung vereinfachen, indem du ähnliche Terme zusammenfasst. 4. **Löse die resultierende Gleichung**: Dies kann eine lineare oder quadratische Gleichung sein, die du mit den üblichen Methoden lösen kannst. 5. **Überprüfe die Lösungen**: Setze die gefundenen Lösungen in die ursprüngliche Bruchgleichung ein, um sicherzustellen, dass sie gültig sind und nicht zu einer Division durch Null führen. Ein Beispiel für eine Bruchgleichung wäre: \[ \frac{x}{2} + \frac{3}{4} = 1 \] Hier würdest du zuerst den Hauptnenner (in diesem Fall 4) verwenden, um die Brüche zu beseitigen und dann die Gleichung weiter lösen.

Hier sind die Lösungen für die angegebenen Bruchgleichungen: 1. \( \frac{8}{x+3} = 2 \) Um diese Gleichung zu lösen, multipliziere beide Seiten mit \( x+3 \): \[ 8 = 2(x+3) \] Teile beide Seiten durch 2: \[ 4 = x + 3 \] Subtrahiere 3 von beiden Seiten: \[ x = 1 \] 2. \( \frac{x+1}{x+3} = 2 \) Multipliziere beide Seiten mit \( x+3 \): \[ x + 1 = 2(x + 3) \] Erweitere die rechte Seite: \[ x + 1 = 2x + 6 \] Subtrahiere \( x \) von beiden Seiten: \[ 1 = x + 6 \] Subtrahiere 6 von beiden Seiten: \[ -5 = x \] 3. \( \frac{3x}{4x+3} = 1 \) Multipliziere beide Seiten mit \( 4x+3 \): \[ 3x = 4x + 3 \] Subtrahiere \( 3x \) von beiden Seiten: \[ 0 = x + 3 \] Subtrahiere 3 von beiden Seiten: \[ x = -3 \] Die Lösungen sind: 1. \( x = 1 \) 2. \( x = -5 \) 3. \( x = -3 \)