Wie lange dauert es, bis ein Bakterium von ca. 2,3*10^-6, das sich alle 20 Minuten teilt, 2 Liter füllt?

Um zu berechnen, wie lange es dauert, bis ein Bakterium, das sich alle 20 Minuten teilt, eine bestimmte Menge erreicht, müssen wir einige Schritte durchführen.

1. **Startpopulation**: Du hast mit 2,3 * 10^-6 Bakterien begonnen.
2. **Teilungszeit**: Die Bakterien teilen sich alle 20 Minuten.
3. **Zielvolumen**: Du möchtest wissen, wann die Bakterien 2 Liter (2.000 ml) erreichen.

Zuerst müssen wir die Anzahl der Bakterien bestimmen, die in 2 Litern Platz haben. Angenommen, ein Bakterium hat ein Volumen von etwa 1 * 10^-9 Litern (dies ist eine grobe Schätzung, da die Größe je nach Bakterienart variiert).

Die Anzahl der Bakterien, die in 2 Litern Platz haben, wäre:

\[
\text{Anzahl der Bakterien} = \frac{2 \text{ Liter}}{1 \times 10^{-9} \text{ Liter/Bakterium}} = 2 \times 10^{9} \text{ Bakterien}
\]

Jetzt berechnen wir, wie viele Teilungen nötig sind, um von 2,3 * 10^-6 auf 2 * 10^9 Bakterien zu kommen.

Die Formel für das exponentielle Wachstum ist:

\[
N = N_0 \times 2^n
\]

wobei \(N\) die Endpopulation, \(N_0\) die Startpopulation und \(n\) die Anzahl der Teilungen ist.

Setzen wir die Werte ein:

\[
2 \times 10^9 = 2,3 \times 10^{-6} \times 2^n
\]

Um \(n\) zu finden, isolieren wir \(2^n\):

\[
2^n = \frac{2 \times 10^9}{2,3 \times 10^{-6}} \approx 8,69565 \times 10^{14}
\]

Jetzt nehmen wir den Logarithmus zur Basis 2:

\[
n = \log_2(8,69565 \times 10^{14}) \approx 49,4
\]

Da \(n\) eine ganze Zahl sein muss, runden wir auf 50 Teilungen auf.

Da jede Teilung 20 Minuten dauert, beträgt die gesamte Zeit:

\[
\text{Gesamtzeit} = 50 \times 20 \text{ Minuten} = 1000 \text{ Minuten}
\]

Um dies in Stunden umzurechnen:

\[
\text{Gesamtzeit in Stunden} = \frac{1000}{60} \approx 16,67 \text{ Stunden}
\]

Es würde also etwa 16,67 Stunden dauern, bis die Bakterien 2 Liter erreichen.