Um den Mittelwert (auch Erwartungswert genannt) in der Stochastik zu berechnen, gibt es verschiedene Ansätze, je nachdem, ob es sich um eine diskrete oder eine stetige Zufallsvariable handelt. 1. **Diskrete Zufallsvariable:** Der Mittelwert \( E(X) \) einer diskreten Zufallsvariable \( X \) mit den Werten \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten \( P(X = x_i) = p_i \) wird berechnet als: \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \] Das bedeutet, du multiplizierst jeden möglichen Wert der Zufallsvariable mit seiner Wahrscheinlichkeit und summierst die Ergebnisse. 2. **Stetige Zufallsvariable:** Der Mittelwert \( E(X) \) einer stetigen Zufallsvariable \( X \) mit der Dichtefunktion \( f(x) \) wird berechnet als: \[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx \] Hierbei integrierst du das Produkt aus \( x \) und der Dichtefunktion \( f(x) \) über den gesamten Definitionsbereich der Zufallsvariable. Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable: Angenommen, \( X \) ist eine Zufallsvariable, die die Werte 1, 2 und 3 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,2, 0,5 und 0,3 annimmt. Dann ist der Mittelwert: \[ E(X) = 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 1 + 0{,}9 = 2,}1 \] Beispiel für eine stetige Zufallsvariable: Angenommen, \( X \) ist eine Zufallsvariable mit der Dichtefunktion \( f(x) = 2x \) für \( 0 \leq x \leq 1 \). Dann ist der Mittelwert: \[ E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2x \, dx = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \] Diese Formeln und Beispiele sollten dir helfen, den Mittelwert in der Stochastik zu berechnen.