Geometrische Reihe Klausuraufgabe?

Eine typische Klausuraufgabe zur geometrischen Reihe könnte wie folgt aussehen:

**Aufgabe:**

Gegeben sei die geometrische Reihe \( S = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n \), wobei \( a \) und \( r \) reelle Zahlen sind und \( |r| < 1 \).

1. Zeige, dass die Reihe konvergiert und bestimme ihren Grenzwert.
2. Berechne die Summe der ersten 10 Glieder der geometrischen Reihe für \( a = 3 \) und \( r = 0,5 \).
3. Bestimme den Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe für \( a = 5 \) und \( r = -0,2 \).

**Lösungen:**

1. **Konvergenz und Grenzwert:**
Die geometrische Reihe \( S = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n \) konvergiert, wenn \( |r| < 1 \). Der Grenzwert der Reihe ist:
\[
S = \frac{a}{1 - r}
\]

2. **Summe der ersten 10 Glieder:**
Die Summe der ersten \( n \) Glieder einer geometrischen Reihe ist gegeben durch:
\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]
Für \( a = 3 \), \( r = 0,5 \) und \( n = 10 \):
\[
S_{10} = 3 \frac{1 - (0,5)^{10}}{1 - 0,5} = 3 \frac{1 - \frac{1}{1024}}{0,5} = 3 \cdot 2 \left(1 - \frac{1}{1024}\right) = 6 \left(1 - \frac{1}{1024}\right) = 6 \cdot \frac{1023}{1024} \approx 5,994
\]

3. **Grenzwert der unendlichen Reihe:**
Für \( a = 5 \) und \( r = -0,2 \):
\[
S = \frac{a}{1 - r} = \frac{5}{1 - (-0,2)} = \frac{5}{1 + 0,2} = \frac{5}{1,2} = \frac{5}{1,2} = \frac{25}{6} \approx 4,167
\]

Diese Aufgaben decken grundlegende Konzepte der geometrischen Reihe ab und sind typisch für eine Klausur in Mathematik.