Eine typische Klausuraufgabe zur geometrischen Reihe könnte wie folgt aussehen: **Aufgabe:** Gegeben sei die geometrische Reihe \( S = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n \), wobei \( a \) und \( r \) reelle Zahlen sind und \( |r| < 1 \). 1. Zeige, dass die Reihe konvergiert und bestimme ihren Grenzwert. 2. Berechne die Summe der ersten 10 Glieder der geometrischen Reihe für \( a = 3 \) und \( r = 0,5 \). 3. Bestimme den Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe für \( a = 5 \) und \( r = -0,2 \). **Lösungen:** 1. **Konvergenz und Grenzwert:** Die geometrische Reihe \( S = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n \) konvergiert, wenn \( |r| < 1 \). Der Grenzwert der Reihe ist: \[ S = \frac{a}{1 - r} \] 2. **Summe der ersten 10 Glieder:** Die Summe der ersten \( n \) Glieder einer geometrischen Reihe ist gegeben durch: \[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \] Für \( a = 3 \), \( r = 0,5 \) und \( n = 10 \): \[ S_{10} = 3 \frac{1 - (0,5)^{10}}{1 - 0,5} = 3 \frac{1 - \frac{1}{1024}}{0,5} = 3 \cdot 2 \left(1 - \frac{1}{1024}\right) = 6 \left(1 - \frac{1}{1024}\right) = 6 \cdot \frac{1023}{1024} \approx 5,994 \] 3. **Grenzwert der unendlichen Reihe:** Für \( a = 5 \) und \( r = -0,2 \): \[ S = \frac{a}{1 - r} = \frac{5}{1 - (-0,2)} = \frac{5}{1 + 0,2} = \frac{5}{1,2} = \frac{5}{1,2} = \frac{25}{6} \approx 4,167 \] Diese Aufgaben decken grundlegende Konzepte der geometrischen Reihe ab und sind typisch für eine Klausur in Mathematik.