Eine Aufgabe zum exponentiellen Zerfall der Bierschaumkrone könnte wie folgt lauten: --- **Aufgabe:** Eine frisch gezapfte Bierkrone hat anfangs eine Höhe von 5 cm. Die Höhe der Schaumkrone nimmt exponentiell ab, wobei die Halbwertszeit 3 Minuten beträgt. 1. Stelle die Funktion \( h(t) \) auf, die die Höhe der Schaumkrone in Abhängigkeit von der Zeit \( t \) in Minuten beschreibt. 2. Berechne die Höhe der Schaumkrone nach 6 Minuten. 3. Bestimme die Zeit, nach der die Schaumkrone auf 1 cm gesunken ist. **Lösungen:** 1. Die allgemeine Formel für den exponentiellen Zerfall lautet: \[ h(t) = h_0 \cdot e^{-\lambda t} \] wobei \( h_0 \) die Anfangshöhe und \( \lambda \) die Zerfallskonstante ist. Die Halbwertszeit \( T_{1/2} \) ist gegeben durch: \[ T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \] Daraus folgt: \[ \lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{\ln(2)}{3} \] Die Funktion lautet also: \[ h(t) = 5 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{3} t} \] 2. Höhe der Schaumkrone nach 6 Minuten: \[ h(6) = 5 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{3} \cdot 6} = 5 \cdot e^{-2\ln(2)} = 5 \cdot (e^{\ln(2)})^{-2} = 5 \cdot 2^{-2} = 5 \cdot \frac{1}{4} = 1.25 \text{ cm} \] 3. Bestimme die Zeit, nach der die Schaumkrone auf 1 cm gesunken ist: \[ 1 = 5 \cdot e^{-\frac{\ln(2)}{3} t} \] \[ \frac{1}{5} = e^{-\frac{\ln(2)}{3} t} \] \[ \ln\left(\frac{1}{5}\right) = -\frac{\ln(2)}{3} t \] \[ -\ln(5) = -\frac{\ln(2)}{3} t \] \[ t = \frac{3 \ln(5)}{\ln(2)} \] \[ t \approx 6.97 \text{ Minuten} \] --- Diese Aufgabe deckt die grundlegenden Konzepte des exponentiellen Zerfalls ab und zeigt, wie man die entsprechenden Berechnungen durchführt.