Ein Unternehmen beschließt, den Umsatz jährlich so zu steigern, dass er größer ist als im Vorjahr. Nach wie vielen Jahren wird sich der Umsatz mindestens verdoppeln?

Um zu bestimmen, nach wie vielen Jahren sich der Umsatz mindestens verdoppelt hat, wenn er jährlich um einen bestimmten Prozentsatz steigt, kann die Formel für das exponentielle Wachstum verwendet werden.

Angenommen, der Umsatz steigt jährlich um \( r \) Prozent. Die Formel für den Umsatz nach \( n \) Jahren lautet:

\[
U_n = U_0 \times (1 + \frac{r}{100})^n
\]

Um herauszufinden, wann sich der Umsatz verdoppelt, setzen wir \( U_n = 2 \times U_0 \):

\[
2 \times U_0 = U_0 \times (1 + \frac{r}{100})^n
\]

Durch Kürzen von \( U_0 \) (vorausgesetzt, \( U_0 \) ist nicht null) erhalten wir:

\[
2 = (1 + \frac{r}{100})^n
\]

Um \( n \) zu isolieren, nehmen wir den Logarithmus auf beiden Seiten:

\[
\log(2) = n \times \log(1 + \frac{r}{100})
\]

Daraus folgt:

\[
n = \frac{\log(2)}{\log(1 + \frac{r}{100})}
\]

Je nach Wert von \( r \) kannst du nun \( n \) berechnen. Zum Beispiel:

- Bei einem jährlichen Wachstum von 10 % (\( r = 10 \)):

\[
n = \frac{\log(2)}{\log(1.1)} \approx 7.27
\]

Das bedeutet, dass es etwa 8 Jahre dauert, bis sich der Umsatz verdoppelt hat.

- Bei einem jährlichen Wachstum von 5 % (\( r = 5 \)):

\[
n = \frac{\log(2)}{\log(1.05)} \approx 14.21
\]

Das bedeutet, dass es etwa 15 Jahre dauert, bis sich der Umsatz verdoppelt hat.

Du kannst diese Berechnung für jeden gewünschten Prozentsatz durchführen.