Die Kostenfunktion \( K(x) = 0,5x^3 + bx^2 + 10y + 30 \) beschreibt die Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge \( x \) und einer weiteren Variablen \( y \), die hier als konstant betrachtet werden kann. 1. **Allgemeine Form**: Die Funktion ist ein Polynom dritten Grades in Bezug auf \( x \), was bedeutet, dass sie eine kubische Funktion ist. Der Hauptterm \( 0,5x^3 \) dominiert das Verhalten der Funktion für große Werte von \( x \). 2. **Verhalten für \( x \to \infty \)**: Da der führende Koeffizient positiv ist (0,5), wird die Funktion für sehr große Werte von \( x \) ebenfalls sehr groß. Das bedeutet, dass die Kosten mit zunehmender Produktionsmenge steigen. 3. **Verhalten für \( x \to -\infty \)**: Für negative Werte von \( x \) wird der Term \( 0,5x^3 \) negativ und dominiert die Funktion, was zu negativen Kosten führen kann, was in der Praxis jedoch nicht sinnvoll ist. 4. **Extrempunkte**: Um die Extrempunkte der Funktion zu finden, müsste die erste Ableitung \( K'(x) \) gebildet und gleich null gesetzt werden. Die Ableitung ist: \[ K'(x) = 1,5x^2 + 2bx \] Diese Gleichung kann verwendet werden, um die Werte von \( x \) zu bestimmen, an denen die Kosten minimal oder maximal sind. 5. **Wendepunkte**: Die zweite Ableitung \( K''(x) \) gibt Auskunft über die Krümmung der Funktion: \[ K''(x) = 3x + 2b \] Ein Wendepunkt tritt auf, wenn \( K''(x) = 0 \). 6. **Einfluss von \( b \)**: Der Parameter \( b \) beeinflusst die Form der Kostenfunktion, insbesondere die Steigung und die Position der Extrempunkte. Ein höherer Wert von \( b \) kann die Kosten bei bestimmten Produktionsmengen erhöhen oder senken. Zusammenfassend zeigt die Kostenfunktion ein typisches Verhalten einer kubischen Funktion, wobei die genauen Eigenschaften stark von den Werten der Parameter \( b \) und \( y \) abhängen.