Beispielhafte Aufgabe mit MATLAB-Skript und Lösung zur Mehrkörpersimulation.

Eine beispielhafte Aufgabe zur Mehrkörpersimulation in MATLAB könnte die Simulation eines einfachen Pendelsystems sein, das aus zwei Massen besteht, die an einem gemeinsamen Punkt aufgehängt sind. Ziel ist es, die Bewegung der Massen über die Zeit zu simulieren und die Positionen sowie Geschwindigkeiten zu visualisieren.

### Aufgabe:
Simuliere ein Doppelpendel, das aus zwei Massen besteht, die an einem gemeinsamen Punkt aufgehängt sind. Die Massen haben die folgenden Eigenschaften:
- Masse 1 (m1) = 1 kg, Länge 1 m
- Masse 2 (m2) = 1 kg, Länge 1 m
- Anfangswinkel für Masse 1 (theta1) = 45 Grad
- Anfangswinkel für Masse 2 (theta2) = 30 Grad

### MATLAB-Skript:
```matlab
% Parameter
m1 = 1; % Masse 1 in kg
m2 = 1; % Masse 2 in kg
L1 = 1; % Länge 1 in m
L2 = 1; % Länge 2 in m
g = 9.81; % Erdbeschleunigung in m/s^2

% Anfangswerte
theta1 = pi/4; % 45 Grad in Bogenmaß
theta2 = pi/6; % 30 Grad in Bogenmaß
omega1 = 0; % Anfangsgeschwindigkeit von Masse 1
omega2 = 0; % Anfangsgeschwindigkeit von Masse 2

% Zeitparameter
dt = 0.01; % Zeitinkrement
t = 0:dt:10; % Simulationszeit von 0 bis 10 Sekunden

% Arrays zur Speicherung der Ergebnisse
theta1_arr = zeros(size(t));
theta2_arr = zeros(size(t));
x1_arr = zeros(size(t));
y1_arr = zeros(size(t));
x2_arr = zeros(size(t));
y2_arr = zeros(size(t));

% Simulation
for i = 1:length(t)
% Speichern der aktuellen Winkel
theta1_arr(i) = theta1;
theta2_arr(i) = theta2;

% Berechnung der Positionen
x1 = L1 * sin(theta1);
y1 = -L1 * cos(theta1);
x2 = x1 + L2 * sin(theta2);
y2 = y1 - L2 * cos(theta2;

% Speichern der Positionen
x1_arr(i) = x1;
y1_arr(i) = y1;
x2_arr(i) = x2;
y2_arr(i) = y2;

% Berechnung der Beschleunigungen (vereinfachte Gleichungen)
alpha1 = (-g*(2*m1 + m2)*sin(theta1) - m2*g*sin(theta1 - 2*theta2) - 2*sin(theta1 - theta2)*m2*(omega2^2*L2 + omega1^2*L1*cos(theta1 - theta2))) / (L1*(2*m1 + m2 - m2*cos(2*theta1 - 2*theta2)));
alpha2 = (2*sin(theta1 - theta2)*(omega1^2*L1*(m1 + m2) + g*(m1 + m2)*cos(theta1) + omega2^2*L2*m2*cos(theta1 - theta2))) / (L2*(2*m1 + m2 - m2*cos(2*theta1 - 2*theta2)));

% Update der Geschwindigkeiten
omega1 = omega1 + alpha1 * dt;
omega2 = omega2 + alpha2 * dt;

% Update der Winkel
theta1 = theta1 + omega1 * dt;
theta2 = theta2 + omega2 * dt;
end

% Visualisierung
figure;
plot(x1_arr, y1_arr, 'r', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(x2_arr, y2_arr, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('X-Position (m)');
ylabel('Y-Position (m)');
title('Doppelpendel-Simulation');
legend('Masse 1', 'Masse 2');
grid on;
axis equal;
```

### Lösung:
Das Skript simuliert die Bewegung eines Doppelpendels über 10 Sekunden. Die Positionen der beiden Massen werden in einem Diagramm dargestellt, wobei die rote Linie die Bewegung der ersten Masse und die blaue Linie die Bewegung der zweiten Masse zeigt. Die Simulation berücksichtigt die physikalischen Gesetze der Bewegung und die Wechselwirkungen zwischen den beiden Massen.