Was sind Wurzelgesetze?

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Was sind Wurzelgesetze?

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Wie bestimmt man die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu h steht und durch Punkt B verläuft?

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Welche Koordinaten hat der Bildpunkt von A(1,-3,5) nach Spiegelung an S(1,2,0)?

Gegeben sind zwei Eckpunkte eines Würfels mit Seitenflächen parallel zu den Koordinatenebenen: B(5,6,1) und H(1,2,5). Wie lauten die Koordinaten der restlichen Eckpunkte?

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Wurzelgesetze sind mathematische Regeln, die den Umgang mit Wurzeln (Radikalen) vereinfachen. Sie helfen dabei, Wurzeln zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren. Hier sind die wichtigsten Wurzelgesetze: 1. **Produktgesetz**: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\) - Die Wurzel eines Produkts ist gleich dem Produkt der Wurzeln. 2. **Quotientengesetz**: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) (für \(b \neq 0\)) - Die Wurzel eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln. 3. **Potenzgesetz**: \((\sqrt{a})^n = a^{\frac{n}{2}}\) - Eine Wurzel kann als Potenz dargestellt werden. 4. **Wurzel aus einer Potenz**: \(\sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}}\) (für \(a \geq 0\)) - Die Wurzel einer Potenz ist gleich der Potenz mit halbiertem Exponenten. Diese Gesetze sind nützlich, um komplexe Wurzelausdrücke zu vereinfachen und zu lösen.

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Um die Gleichung einer Geraden zu bestimmen, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden \( h \) verläuft und durch einen Punkt \( B \) geht, gehst du wie folgt vor: 1. **Richtungsvektor der Gerade... [mehr]

Accepted Answer

Um die Gleichung einer Geraden zu bestimmen, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden \( h \) verläuft und durch einen Punkt \( B \) geht, gehst du wie folgt vor: 1. **Richtungsvektor der Geraden \( h \) bestimmen:** Angenommen, \( h \) ist in Parameterform gegeben: \[ h: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{d} \] Dann ist \( \vec{d} \) der Richtungsvektor von \( h \). 2. **Senkrechten Richtungsvektor finden:** Der Richtungsvektor der gesuchten Geraden \( g \) muss senkrecht zu \( \vec{d} \) stehen. Im 2D-Fall (Ebene): Ist \( \vec{d} = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} \), dann ist ein senkrechter Vektor z.B. \[ \vec{n} = \begin{pmatrix} -d_2 \\ d_1 \end{pmatrix} \] Im 3D-Fall (Raum): Du brauchst einen Vektor \( \vec{n} \), der das Skalarprodukt \( \vec{n} \cdot \vec{d} = 0 \) erfüllt. Das kannst du z.B. durch das Kreuzprodukt mit einem weiteren Vektor erreichen oder durch geschicktes Raten. 3. **Geradengleichung aufstellen:** Die gesuchte Gerade \( g \) hat dann die Form: \[ g: \vec{x} = \vec{B} + s \cdot \vec{n} \] wobei \( \vec{B} \) der Ortsvektor des Punkts \( B \) ist und \( s \) der Parameter. **Beispiel (2D):** Gegeben: \( h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \), Punkt \( B(2|1) \). 1. Richtungsvektor von \( h \): \( \vec{d} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \) 2. Senkrechter Vektor: \( \vec{n} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} \) 3. Geradengleichung: \[ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} \] **Fazit:** Du brauchst also den Richtungsvektor von \( h \), bestimmst einen senkrechten Vektor dazu und stellst die Geradengleichung mit dem Punkt \( B \) auf.

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Um die dritte Wurzel (Kubikwurzel) einer Zahl schriftlich zu berechnen, gibt es verschiedene Methoden. Die gebräuchlichsten sind: **1. Potenzschreibweise:** Die dritte Wurzel einer Zahl \( x \... [mehr]

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Um die dritte Wurzel (Kubikwurzel) einer Zahl schriftlich zu berechnen, gibt es verschiedene Methoden. Die gebräuchlichsten sind: **1. Potenzschreibweise:** Die dritte Wurzel einer Zahl \( x \) wird als \( \sqrt[3]{x} \) oder als \( x^{1/3} \) geschrieben. **2. Näherungsverfahren (z. B. Heron-Verfahren für die Kubikwurzel):** Ein verbreitetes schriftliches Verfahren ist das Newton-Raphson-Verfahren (eine Art Heron-Verfahren für die dritte Wurzel): - Starte mit einer Schätzung \( y_0 \) für \( \sqrt[3]{x} \). - Verwende die Iterationsformel: \[ y_{n+1} = \frac{2y_n + \frac{x}{y_n^2}}{3} \] - Wiederhole die Berechnung, bis sich das Ergebnis kaum noch ändert. **Beispiel:** Berechne \( \sqrt[3]{27} \): 1. Starte mit \( y_0 = 3 \) (weil \( 3^3 = 27 \)). 2. Setze in die Formel ein: \[ y_1 = \frac{2 \cdot 3 + \frac{27}{3^2}}{3} = \frac{6 + 3}{3} = 3 \] Das Ergebnis bleibt 3, also ist \( \sqrt[3]{27} = 3 \). **3. Logarithmen-Methode:** Du kannst auch mit Logarithmen arbeiten: \[ \sqrt[3]{x} = 10^{\frac{1}{3} \cdot \log_{10}(x)} \] Dazu benötigst du Logarithmentafeln oder einen Taschenrechner. **Fazit:** Schriftlich wird die dritte Wurzel meist mit Näherungsverfahren wie dem Newton-Raphson-Verfahren berechnet, da es kein einfaches schriftliches Verfahren wie bei der Quadratwurzel gibt. Für praktische Zwecke werden oft Tabellen, Taschenrechner oder Computer verwendet.

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Ein Quadratkilometer (km²) entspricht 1.000.000 Quadratmetern (m²).

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Ein Quadratkilometer (km²) entspricht 1.000.000 Quadratmetern (m²).

Kategorie: Mathematik Tags: Quadratkilometer Meter Umrechnung

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Um 25 % von 95,95 zu berechnen, multiplizierst du 95,95 mit 0,25: 95,95 × 0,25 = 23,9875 25 % von 95,95 sind also 23,9875.

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Um 25 % von 95,95 zu berechnen, multiplizierst du 95,95 mit 0,25: 95,95 × 0,25 = 23,9875 25 % von 95,95 sind also 23,9875.

Kategorie: Mathematik Tags: Prozent Berechnung Mathematik

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Kategorie: Mathematik Tags: Mathematik Addition Zahlen

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Das Zeichen `\frac` wird in mathematischen Gleichungen verwendet, um einen Bruch darzustellen. Es stammt aus der LaTeX-Syntax, die häufig für das Setzen mathematischer Formeln genutzt wird.... [mehr]

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Das Zeichen `\frac` wird in mathematischen Gleichungen verwendet, um einen Bruch darzustellen. Es stammt aus der LaTeX-Syntax, die häufig für das Setzen mathematischer Formeln genutzt wird. Die allgemeine Schreibweise lautet: ``` \frac{Zähler}{Nenner} ``` Beispiel: ``` \frac{a}{b} ``` Das ergibt den Bruch \( \frac{a}{b} \). **Verwendung:** - In LaTeX-Umgebungen (z. B. in wissenschaftlichen Arbeiten, auf Plattformen wie Overleaf oder in MathJax-fähigen Foren) wird `\frac` genutzt, um Brüche übersichtlich und korrekt darzustellen. - In normalen Textverarbeitungsprogrammen wird das Zeichen so nicht verwendet; dort gibt es meist eigene Bruchfunktionen. **Zusammengefasst:** `\frac` ist ein LaTeX-Befehl, um Brüche in mathematischen Gleichungen zu schreiben, indem du Zähler und Nenner in geschweifte Klammern angibst.

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Du hast 6 verschiedene Ziffern: 2, 3, 4, 5, 7, 8. Gesucht sind alle 4-stelligen Zahlenkombinationen ohne Wiederholung. Das ist eine Permutation ohne Wiederholung: Anzahl der Möglichkeiten =... [mehr]

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Du hast 6 verschiedene Ziffern: 2, 3, 4, 5, 7, 8. Gesucht sind alle 4-stelligen Zahlenkombinationen ohne Wiederholung. Das ist eine Permutation ohne Wiederholung: Anzahl der Möglichkeiten = 6 × 5 × 4 × 3 = **360** **Begründung:** - Für die erste Stelle gibt es 6 Möglichkeiten (alle Ziffern). - Für die zweite Stelle bleiben 5 übrig. - Für die dritte Stelle bleiben 4 übrig. - Für die vierte Stelle bleiben 3 übrig. **Antwort:** Es gibt **360 verschiedene 4-stellige Zahlenkombinationen ohne Wiederholung** aus den Ziffern 2, 3, 4, 5, 7, 8.

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Die Zahlen 2, 3, 4, 5, 7 und 8 können zu Zahlenkombinationen ohne Wiederholung (also Permutationen) zusammengesetzt werden. Die Anzahl aller möglichen Permutationen dieser 6 verschiedenen Za... [mehr]

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Die Zahlen 2, 3, 4, 5, 7 und 8 können zu Zahlenkombinationen ohne Wiederholung (also Permutationen) zusammengesetzt werden. Die Anzahl aller möglichen Permutationen dieser 6 verschiedenen Zahlen beträgt: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = **720** Das bedeutet, es gibt **720 verschiedene Zahlenkombinationen**, bei denen jede Zahl genau einmal vorkommt. Hier ein paar Beispiele für solche Kombinationen: - 2 3 4 5 7 8 - 2 3 4 5 8 7 - 2 3 4 7 5 8 - 8 7 5 4 3 2 - 3 2 4 5 7 8 - 5 2 3 4 7 8 Und so weiter, bis alle 720 Möglichkeiten ausgeschöpft sind. Eine vollständige Liste aller 720 Permutationen ist sehr lang und kann hier nicht vollständig dargestellt werden. Wenn du eine bestimmte Anzahl von Stellen (z.B. nur 3-stellige Kombinationen) oder eine andere Einschränkung meinst, bitte präzisiere deine Frage.

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Um die Koordinaten des Bildpunktes \( A' \) zu bestimmen, wenn der Punkt \( A(1, -3, 5) \) an dem Punkt \( S(1, 2, 0) \) **gespiegelt** wird, gehst du wie folgt vor: **Vorgehen:** 1. Bestimme de... [mehr]

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Um die Koordinaten des Bildpunktes \( A' \) zu bestimmen, wenn der Punkt \( A(1, -3, 5) \) an dem Punkt \( S(1, 2, 0) \) **gespiegelt** wird, gehst du wie folgt vor: **Vorgehen:** 1. Bestimme den Vektor von \( S \) nach \( A \): \(\vec{SA} = A - S = (1 - 1, -3 - 2, 5 - 0) = (0, -5, 5)\) 2. Der Bildpunkt \( A' \) liegt auf der anderen Seite von \( S \), genauso weit entfernt wie \( A \), also: \(\vec{SA'} = -\vec{SA} = (0, 5, -5)\) 3. Berechne die Koordinaten von \( A' \): \(A' = S + \vec{SA'} = (1, 2, 0) + (0, 5, -5) = (1, 7, -5)\) **Antwort:** Die Koordinaten des Bildpunktes \( A' \) sind \[ A'(1,\ 7,\ -5) \]

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Um die restlichen Eckpunkte eines Würfels zu bestimmen, wenn zwei gegenüberliegende Eckpunkte gegeben sind und die Seitenflächen parallel zu den Koordinatenebenen liegen, gehst du wie f... [mehr]

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Um die restlichen Eckpunkte eines Würfels zu bestimmen, wenn zwei gegenüberliegende Eckpunkte gegeben sind und die Seitenflächen parallel zu den Koordinatenebenen liegen, gehst du wie folgt vor: **Gegeben:** - B(5, 6, 1) - H(1, 2, 5) **Lösungsschritte:** 1. **Koordinaten vergleichen:** Da die Seitenflächen parallel zu den Koordinatenebenen sind, unterscheiden sich die Koordinaten der gegenüberliegenden Eckpunkte jeweils in allen drei Koordinaten. 2. **Mögliche Werte für die Koordinaten:** Für jede Koordinate gibt es nur zwei Möglichkeiten: den Wert von B oder den Wert von H. - x: 5 oder 1 - y: 6 oder 2 - z: 1 oder 5 3. **Alle Eckpunkte auflisten:** Die 8 Eckpunkte des Würfels sind alle Kombinationen dieser Werte: 1. (5, 6, 1) → B 2. (5, 6, 5) 3. (5, 2, 1) 4. (5, 2, 5) 5. (1, 6, 1) 6. (1, 6, 5) 7. (1, 2, 1) 8. (1, 2, 5) → H **Antwort:** Die restlichen Eckpunkte sind: (5, 6, 5), (5, 2, 1), (5, 2, 5), (1, 6, 1), (1, 6, 5), (1, 2, 1) **Zusammenfassung aller Eckpunkte:** - (5, 6, 1) - (5, 6, 5) - (5, 2, 1) - (5, 2, 5) - (1, 6, 1) - (1, 6, 5) - (1, 2, 1) - (1, 2, 5)