Wie lautet eine mathematische Aufgabe zu Extrempunkten einer Kostenfunktion mit wirtschaftlicher Interpretation?

Eine mögliche mathematische Aufgabe zu Extrempunkten einer Kostenfunktion könnte wie folgt lauten:

**Aufgabe:**

Gegeben sei die Kostenfunktion \( K(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 50 \), wobei \( x \) die produzierte Menge in Einheiten darstellt.

1. Bestimme die Extrempunkte der Kostenfunktion.
2. Interpretiere die Extrempunkte wirtschaftlich.

**Lösung:**

1. **Bestimmung der Extrempunkte:**

Zuerst berechnest du die erste Ableitung der Kostenfunktion, um die kritischen Punkte zu finden:

\[
K'(x) = 6x^2 - 30x + 36
\]

Setze die erste Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden:

\[
6x^2 - 30x + 36 = 0
\]

Diese quadratische Gleichung kann durch Faktorisierung oder die Mitternachtsformel gelöst werden. Verwenden wir die Mitternachtsformel:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Hier ist \( a = 6 \), \( b = -30 \), und \( c = 36 \). Berechne die Diskriminante:

\[
b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 36 = 900 - 864 = 36
\]

Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein:

\[
x = \frac{30 \pm \sqrt{36}}{12} = \frac{30 \pm 6}{12}
\]

Dies ergibt die Lösungen:

\[
x_1 = \frac{36}{12} = 3, \quad x_2 = \frac{24}{12} = 2
\]

Nun berechne die zweite Ableitung, um die Art der Extrempunkte zu bestimmen:

\[
K''(x) = 12x - 30
\]

Setze die kritischen Punkte in die zweite Ableitung ein:

Für \( x = 2 \):

\[
K''(2) = 12 \cdot 2 - 30 = 24 - 30 = -6
\]

Da \( K''(2) < 0 \), handelt es sich um ein lokales Maximum.

Für \( x = 3 \):

\[
K''(3) = 12 \cdot 3 - 30 = 36 - 30 = 6
\]

Da \( K''(3) > 0 \), handelt es sich um ein lokales Minimum.

2. **Wirtschaftliche Interpretation:**

- Bei einer Produktionsmenge von \( x = 2 \) Einheiten erreicht die Kostenfunktion ein lokales Maximum. Dies bedeutet, dass die Kosten bei dieser Produktionsmenge am höchsten sind, was auf Ineffizienzen oder hohe variable Kosten bei dieser Menge hinweisen könnte.

- Bei einer Produktionsmenge von \( x = 3 \) Einheiten erreicht die Kostenfunktion ein lokales Minimum. Dies bedeutet, dass die Kosten bei dieser Produktionsmenge am niedrigsten sind, was auf eine effiziente Produktion hinweist. Es könnte wirtschaftlich sinnvoll sein, die Produktion auf diese Menge zu optimieren, um die Kosten zu minimieren.