-7/4 mal -13/3?

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-7/4 mal -13/3?

Antwort

Verwandte Fragen

Gibt es einen einfachen und schönen Beweis für die Irrationalität von Wurzel aus zwei ohne Widerspruchsbeweis?

Schneidet die Gerade y = cos(alpha) die Kubikparabel y = x^3 nur einmal?

Warum schneidet die Gerade y = cos(α), die parallel zur x-Achse verläuft, die Kubikparabel nur in einem Punkt?

Was sind die reellen Lösungen für die Schnittpunkte der Kubikparabel y = 4x^3 - 3x mit der Geraden y = cos(α) in normierter Schreibweise?

Was sind die reellen Lösungen der Gleichung 4x^3 - 3x = cos(α)?

Wie löst man ein lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 2 Gleichungen?

Wie viel ist eine Milliarde Millionen?

Ist der Vektor AB ein Normalenvektor, wenn A und B symmetrisch zur Ebene liegen?

Wie berechnet man die x-Koordinaten der beiden reellen Wurzelpunkte der Kubikparabel, die bei der Winkeldrittelung eines Winkels α im oberen Halbkreis mit Radius 1 und Mittelpunkt M als Scheitelpunkt, in Abhängigkeit von α entstehen?

Wie zeichnet man das Trapez ABCD mit A(2|1), B(8|0), C(8|7) und D(2|5) ins Koordinatensystem und berechnet den Flächeninhalt?

Accepted Answer

Um die Brüche -7/4 und -13/3 zu multiplizieren, multiplizierst du die Zähler miteinander und die Nenner miteinander: \[ \frac{-7}{4} \times \frac{-13}{3} = \frac{(-7) \times (-13)}{4 \times 3} = \frac{91}{12} \] Das Ergebnis ist also \(\frac{91}{12}\).

Accepted Answer

Ein Beweis, dass \(\sqrt{2}\) irrational ist, ohne den klassischen Widerspruchsbeweis, ist tatsächlich nicht ganz einfach, da die meisten elementaren Beweise auf einen Widerspruch hinauslaufen. D... [mehr]

Accepted Answer

Ein Beweis, dass \(\sqrt{2}\) irrational ist, ohne den klassischen Widerspruchsbeweis, ist tatsächlich nicht ganz einfach, da die meisten elementaren Beweise auf einen Widerspruch hinauslaufen. Dennoch gibt es einen schönen, konstruktiven Zugang über die sogenannte **Zahlendarstellung** (z.B. Dezimalentwicklung) oder über **Kettenbrüche**. Hier ein Beweis über die **nicht-periodische Dezimaldarstellung**: 1. **Jede rationale Zahl** hat eine **endliche oder periodische Dezimaldarstellung**. Das heißt, wenn du eine Zahl als Bruch \(\frac{a}{b}\) mit ganzen Zahlen \(a, b\) (und \(b \neq 0\)) schreiben kannst, dann ist ihre Dezimaldarstellung entweder endlich oder ab einem bestimmten Punkt periodisch. 2. **Die Dezimaldarstellung von \(\sqrt{2}\) ist nicht periodisch**. Wenn du \(\sqrt{2}\) als Dezimalzahl berechnest, erhältst du: \[ \sqrt{2} = 1,4142135623730950488\ldots \] und es gibt keinen Abschnitt, der sich wiederholt. Das kannst du mit Computern beliebig weit überprüfen, und es gibt keinen periodischen Abschnitt. 3. **Schlussfolgerung:** Da \(\sqrt{2}\) keine periodische Dezimaldarstellung hat, kann sie nicht rational sein. **Fazit:** \(\sqrt{2}\) ist irrational, weil ihre Dezimaldarstellung nicht periodisch ist, während jede rationale Zahl eine periodische (oder endliche) Dezimaldarstellung besitzt. **Hinweis:** Dieser Beweis ist weniger formal als der klassische Widerspruchsbeweis, aber er ist anschaulich und vermeidet den direkten Widerspruch. Für einen wirklich elementaren, rein konstruktiven Beweis ist die Theorie der Kettenbrüche noch eleganter, aber auch etwas fortgeschrittener.

Accepted Answer

Ja, das stimmt. Die Gerade \( y = \cos\alpha \) ist eine Parallele zur x-Achse, da sie für jedes \( x \) denselben y-Wert hat. Um die Schnittpunkte mit der Kubikparabel \( y = x^3 \) zu bestimme... [mehr]

Accepted Answer

Ja, das stimmt. Die Gerade \( y = \cos\alpha \) ist eine Parallele zur x-Achse, da sie für jedes \( x \) denselben y-Wert hat. Um die Schnittpunkte mit der Kubikparabel \( y = x^3 \) zu bestimmen, setzt man die beiden Gleichungen gleich: \[ x^3 = \cos\alpha \] Diese Gleichung hat **genau eine reelle Lösung** für \( x \), nämlich: \[ x = \sqrt[3]{\cos\alpha} \] Das bedeutet: Die Gerade \( y = \cos\alpha \) schneidet die Parabel \( y = x^3 \) **immer genau in einem Punkt**. Der Schnittpunkt ist: \[ \left( \sqrt[3]{\cos\alpha},\ \cos\alpha \right) \] **Fazit:** Deine Aussage ist richtig: Die Gerade \( y = \cos\alpha \) ist eine Parallele zur x-Achse und schneidet die Kubikparabel \( y = x^3 \) immer in genau einem Punkt.

Accepted Answer

Deine Aussage ist korrekt, wenn du mit der Geraden \( y = \cos\alpha \) eine waagerechte Gerade meinst, deren y-Wert durch den Kosinus eines Winkels \(\alpha\) festgelegt ist. Diese Gerade ist tats&au... [mehr]

Accepted Answer

Deine Aussage ist korrekt, wenn du mit der Geraden \( y = \cos\alpha \) eine waagerechte Gerade meinst, deren y-Wert durch den Kosinus eines Winkels \(\alpha\) festgelegt ist. Diese Gerade ist tatsächlich parallel zur x-Achse. Ob sie nur **einen Schnittpunkt** mit einer Kubikparabel hat, hängt jedoch von der konkreten Parabel ab. Eine allgemeine Kubikparabel hat die Form \( y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Setzt man \( y = \cos\alpha \), erhält man die Gleichung: \[ ax^3 + bx^2 + cx + d = \cos\alpha \] \[ ax^3 + bx^2 + cx + (d - \cos\alpha) = 0 \] Das ist eine kubische Gleichung in \(x\), die **bis zu drei reelle Lösungen** (Schnittpunkte) haben kann. Es gibt aber auch Fälle, in denen es nur einen reellen Schnittpunkt gibt (die anderen beiden sind komplex), oder sogar einen mehrfachen Schnittpunkt (wenn die Gerade die Parabel im Wendepunkt oder an einer Tangente berührt). **Fazit:** Die Gerade \( y = \cos\alpha \) ist immer parallel zur x-Achse. Ob sie nur einen Schnittpunkt mit der Kubikparabel hat, hängt von der Lage der Parabel und dem Wert von \(\cos\alpha\) ab. In vielen Fällen gibt es **drei**, manchmal **einen** oder **zwei** Schnittpunkte. Nur in speziellen Fällen (z.B. wenn die Gerade eine Tangente ist oder die Parabel so liegt, dass sie die Gerade nur einmal schneidet) gibt es genau einen Schnittpunkt.

Accepted Answer

Gesucht sind die reellen Lösungen der Gleichung: \[ 4x^3 - 3x = \cos\alpha \] Das sind die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der Kubikparabel \(y = 4x^3 - 3x\) mit der Geraden \(y = \cos\alph... [mehr]

Accepted Answer

Gesucht sind die reellen Lösungen der Gleichung: \[ 4x^3 - 3x = \cos\alpha \] Das sind die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der Kubikparabel \(y = 4x^3 - 3x\) mit der Geraden \(y = \cos\alpha\). Umgestellt ergibt sich: \[ 4x^3 - 3x - \cos\alpha = 0 \] Diese Gleichung ist eine spezielle Form der kubischen Gleichung. Sie lässt sich mit Hilfe der sogenannten **cosinus triple angle identity** lösen: \[ \cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \] Setze \(x = \cos\theta\), dann gilt: \[ 4x^3 - 3x = \cos(3\theta) \] Setze \(\cos(3\theta) = \cos\alpha\): \[ 4x^3 - 3x = \cos\alpha \] Daraus folgt: \[ x = \cos\left(\frac{\alpha + 2\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2 \] **Normale Schreibweise der Lösungen:** \[ x_1 = \cos\left(\frac{\alpha}{3}\right) \] \[ x_2 = \cos\left(\frac{\alpha + 2\pi}{3}\right) \] \[ x_3 = \cos\left(\frac{\alpha + 4\pi}{3}\right) \] Das sind die reellen Lösungen in normaler Schreibweise.

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Gegeben ist die Kubikparabel \( y = 4x^3 - 3x \) und die Gerade \( y = \cos\alpha \). Die Schnittpunkte erhältst du, indem du die beiden Gleichungen gleichsetzt: \[ 4x^3 - 3x = \cos\alpha \] D... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist die Kubikparabel \( y = 4x^3 - 3x \) und die Gerade \( y = \cos\alpha \). Die Schnittpunkte erhältst du, indem du die beiden Gleichungen gleichsetzt: \[ 4x^3 - 3x = \cos\alpha \] Das ist eine kubische Gleichung in \( x \): \[ 4x^3 - 3x - \cos\alpha = 0 \] Interessanterweise ist \( 4x^3 - 3x \) die sogenannte **dreifache Winkel-Formel** für den Kosinus: \[ \cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \] Setze \( x = \cos\theta \), dann gilt: \[ 4x^3 - 3x = \cos(3\theta) \] Setze dies in die Gleichung ein: \[ \cos(3\theta) = \cos\alpha \] Die Lösungen für \( \theta \) sind: \[ 3\theta = \alpha + 2\pi k \quad \text{oder} \quad 3\theta = -\alpha + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Daraus folgt: \[ \theta_1 = \frac{\alpha}{3} + \frac{2\pi k}{3} \] \[ \theta_2 = -\frac{\alpha}{3} + \frac{2\pi k}{3} \] Die zugehörigen \( x \)-Werte sind also: \[ x_1 = \cos\left(\frac{\alpha}{3}\right) \] \[ x_2 = \cos\left(\frac{\alpha + 2\pi}{3}\right) \] \[ x_3 = \cos\left(\frac{\alpha + 4\pi}{3}\right) \] **Antwort:** Die reellen Lösungen der Gleichung \( 4x^3 - 3x = \cos\alpha \) sind die \( x \)-Koordinaten der Schnittpunkte und lauten: \[ x_1 = \cos\left(\frac{\alpha}{3}\right), \quad x_2 = \cos\left(\frac{\alpha + 2\pi}{3}\right), \quad x_3 = \cos\left(\frac{\alpha + 4\pi}{3}\right) \] Das sind die drei reellen Lösungen.

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Ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit 3 Unbekannten (z. B. x, y, z) und nur 2 Gleichungen ist **unterbestimmt**. Das bedeutet, es gibt unendlich viele Lösungen, weil es mehr Unbekannte als Glei... [mehr]

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit 3 Unbekannten (z. B. x, y, z) und nur 2 Gleichungen ist **unterbestimmt**. Das bedeutet, es gibt unendlich viele Lösungen, weil es mehr Unbekannte als Gleichungen gibt. **Vorgehen:** 1. **Gleichungen aufstellen:** Zum Beispiel: 1) \( a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \) 2) \( a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \) 2. **Eine Unbekannte als Parameter wählen:** Wähle z. B. \( z = t \) (t ist ein Parameter, t ∈ ℝ). 3. **Das Gleichungssystem nach x und y umstellen:** Setze \( z = t \) in beide Gleichungen ein. Jetzt hast du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (x und y), die du wie gewohnt lösen kannst (z. B. mit dem Additions- oder Einsetzungsverfahren). 4. **Lösung als Parameterdarstellung:** Die Lösung sieht dann so aus: \( x = f_1(t) \) \( y = f_2(t) \) \( z = t \) Das ist die Lösungsmenge in Abhängigkeit vom Parameter t. **Beispiel:** Gegeben: 1) \( x + 2y + 3z = 4 \) 2) \( 2x - y + z = 1 \) Setze \( z = t \): 1) \( x + 2y + 3t = 4 \) 2) \( 2x - y + t = 1 \) Nun nach x und y umstellen: Gleichung 1: \( x + 2y = 4 - 3t \) Gleichung 2: \( 2x - y = 1 - t \) Löse das System (z. B. Einsetzungsverfahren): - Multipliziere Gleichung 1 mit 2: \( 2x + 4y = 8 - 6t \) - Subtrahiere Gleichung 2: \( (2x + 4y) - (2x - y) = (8 - 6t) - (1 - t) \) \( 2x + 4y - 2x + y = 8 - 6t - 1 + t \) \( 5y = 7 - 5t \) \( y = \frac{7 - 5t}{5} \) Setze y in Gleichung 1 ein: \( x + 2 \cdot \frac{7 - 5t}{5} = 4 - 3t \) \( x + \frac{14 - 10t}{5} = 4 - 3t \) \( x = 4 - 3t - \frac{14 - 10t}{5} \) \( x = \frac{20 - 15t - 14 + 10t}{5} \) \( x = \frac{6 - 5t}{5} \) **Lösung:** \( x = \frac{6 - 5t}{5} \) \( y = \frac{7 - 5t}{5} \) \( z = t \), t ∈ ℝ **Fazit:** Das LGS hat unendlich viele Lösungen, die sich durch einen Parameter (z. B. t) ausdrücken lassen.

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Eine Milliarde Millionen entspricht einer Billion. Das bedeutet: - 1 Milliarde = 1.000.000.000 (10⁹) - 1 Million = 1.000.000 (10⁶) - 1 Milliarde Millionen = 1.000.000.000 × 1.000.000 = 1.000.0... [mehr]

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Eine Milliarde Millionen entspricht einer Billion. Das bedeutet: - 1 Milliarde = 1.000.000.000 (10⁹) - 1 Million = 1.000.000 (10⁶) - 1 Milliarde Millionen = 1.000.000.000 × 1.000.000 = 1.000.000.000.000.000 (10¹⁵) Im deutschen Zahlensystem nennt man diese Zahl **eine Billiarde**. In der internationalen (englischen) Kurzskala entspricht das der Zahl "quadrillion". Zusammengefasst: **Eine Milliarde Millionen = 1.000.000.000.000.000 = eine Billiarde (10¹⁵)**.

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Ja, der Vektor \(\overrightarrow{AB}\) ist ein Normalenvektor der Ebene, wenn die Punkte \(A\) und \(B\) symmetrisch zur Ebene liegen. **Begründung:** Wenn zwei Punkte \(A\) und \(B\) symmetri... [mehr]

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Ja, der Vektor \(\overrightarrow{AB}\) ist ein Normalenvektor der Ebene, wenn die Punkte \(A\) und \(B\) symmetrisch zur Ebene liegen. **Begründung:** Wenn zwei Punkte \(A\) und \(B\) symmetrisch bezüglich einer Ebene \(E\) liegen, dann ist die Ebene genau die Mittelsenkrechte des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{AB}\). Das bedeutet, dass der Vektor \(\overrightarrow{AB}\) senkrecht auf der Ebene steht und somit ein Normalenvektor der Ebene ist. **Zusammengefasst:** Ja, \(\overrightarrow{AB}\) ist in diesem Fall ein Normalenvektor der Ebene.

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Gegeben ist ein Halbkreis mit Radius \( r = 1 \) und Mittelpunkt \( M \), der zugleich Scheitelpunkt einer Kubikparabel ist. Die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) mit Scheitel im Mittelpunkt \(M\) spann... [mehr]

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Gegeben ist ein Halbkreis mit Radius \( r = 1 \) und Mittelpunkt \( M \), der zugleich Scheitelpunkt einer Kubikparabel ist. Die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) mit Scheitel im Mittelpunkt \(M\) spannen zusammen den Halbkreis auf, also \(\alpha + \beta = 180^\circ\). Es geht um die Drittelung dieser Winkel und die zugehörigen Punkte auf dem Halbkreis und auf der Kubikparabel. **Gesucht:** Die \(x\)-Koordinaten der beiden reellen Wurzelpunkte der Kubikparabel, die mit den \(x\)-Koordinaten der Winkeldrittelpunkte auf dem Halbkreis übereinstimmen, in Abhängigkeit von \(\alpha\). --- ### 1. **Winkeldrittelpunkte auf dem Halbkreis** Ein Punkt auf dem Halbkreis mit Mittelpunkt \(M = (0,0)\) und Radius \(1\) hat die Koordinaten: \[ P(\varphi) = (\cos\varphi, \sin\varphi) \] mit \(\varphi\) im Bereich \([0, \pi]\). Die Winkeldrittelpunkte zu \(\alpha\) und \(\beta\) sind also die Punkte bei den Winkeln \(\alpha/3\) und \(\beta/3\). Da \(\alpha + \beta = \pi\), ist \(\beta = \pi - \alpha\). Die \(x\)-Koordinaten der Winkeldrittelpunkte sind: - Für \(\alpha/3\): \(x_1 = \cos(\alpha/3)\) - Für \(\beta/3 = (\pi - \alpha)/3\): \(x_2 = \cos((\pi - \alpha)/3)\) --- ### 2. **Kubikparabel und Winkeldrittel** Die klassische Winkeldrittelung ist mit der Gleichung \[ \cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \] verbunden. Setze \(\cos(3\theta) = \cos\alpha\), dann ist \(\theta = \alpha/3\). Setze \(x = \cos\theta\), dann gilt: \[ \cos\alpha = 4x^3 - 3x \] \[ 4x^3 - 3x - \cos\alpha = 0 \] Die reellen Lösungen dieser Gleichung sind die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der Kubikparabel \(y = 4x^3 - 3x\) mit der Geraden \(y = \cos\alpha\). --- ### 3. **Lösung für die \(x\)-Koordinaten** Die gesuchten \(x\)-Koordinaten sind also die reellen Lösungen von: \[ 4x^3 - 3x - \cos\alpha = 0 \] Für \(\alpha \in [0, \pi]\) gibt es zwei reelle Lösungen im Bereich \([-1, 1]\), die den Winkeldrittelpunkten auf dem Halbkreis entsprechen: - \(x_1 = \cos(\alpha/3)\) - \(x_2 = \cos((\pi - \alpha)/3)\) **Zusammengefasst:** \[ \boxed{ \begin{aligned} x_1 &= \cos\left(\frac{\alpha}{3}\right) \\ x_2 &= \cos\left(\frac{\pi - \alpha}{3}\right) \end{aligned} } \] Das sind die \(x\)-Koordinaten der beiden reellen Wurzelpunkte der Kubikparabel, die mit den Winkeldrittelpunkten auf dem Halbkreis übereinstimmen, in Abhängigkeit von \(\alpha\).

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**1. Zeichnung des Trapezes:** Du kannst das Trapez wie folgt in ein Koordinatensystem einzeichnen (Einheit: 1 cm): - **A(2|1):** 2 cm nach rechts, 1 cm nach oben - **B(8|0):** 8 cm nach rechts, 0 c... [mehr]

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**1. Zeichnung des Trapezes:** Du kannst das Trapez wie folgt in ein Koordinatensystem einzeichnen (Einheit: 1 cm): - **A(2|1):** 2 cm nach rechts, 1 cm nach oben - **B(8|0):** 8 cm nach rechts, 0 cm nach oben (auf der x-Achse) - **C(8|7):** 8 cm nach rechts, 7 cm nach oben - **D(2|5):** 2 cm nach rechts, 5 cm nach oben Verbinde die Punkte der Reihe nach: A → B → C → D → A. --- **2. Flächeninhalt des Trapezes berechnen:** Ein Trapez hat zwei parallele Seiten. Hier sind die Seiten **AB** und **DC** parallel, da sie beide waagrecht verlaufen (gleiche y-Koordinaten-Differenz). - **AB:** von (2|1) nach (8|0) - **DC:** von (2|5) nach (8|7) Berechne die Längen der parallelen Seiten: **AB:** \[ \text{Länge AB} = \sqrt{(8-2)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \] **DC:** \[ \text{Länge DC} = \sqrt{(8-2)^2 + (7-5)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \] **Höhe des Trapezes:** Die Höhe ist der vertikale Abstand zwischen den parallelen Seiten. Die Mittelpunkte von AB und DC sind: - Mittelpunkt AB: \((2+8)/2 | (1+0)/2 = 5|0,5\) - Mittelpunkt DC: \((2+8)/2 | (5+7)/2 = 5|6\) Vertikaler Abstand: \(6 - 0,5 = 5,5\) cm **Flächeninhalt:** \[ A = \frac{1}{2} \cdot (\text{AB} + \text{DC}) \cdot \text{Höhe} \] \[ A = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{37} + \sqrt{40}) \cdot 5,5 \] \[ \sqrt{37} \approx 6,08,\quad \sqrt{40} \approx 6,32 \] \[ A = \frac{1}{2} \cdot (6,08 + 6,32) \cdot 5,5 = \frac{1}{2} \cdot 12,4 \cdot 5,5 = 6,2 \cdot 5,5 = 34,1 \] **Antwort:** Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt **ca. 34,1 cm²**.