Wie viele Wörter mit drei verschiedenen Buchstaben können aus den Buchstaben von BIRNE und ORANGE gebildet werden?

Um zu zeigen, dass man mit allen Buchstaben des Wortes "BIRNE" ebenso viele Wörter bilden kann wie mit jeweils 3 verschiedenen Buchstaben des Wortes "ORANGE", müssen wir die Anzahl der möglichen Kombinationen und Permutationen der Buchstaben in beiden Fällen berechnen.

1. **Wörter mit allen Buchstaben des Wortes "BIRNE":**
Das Wort "BIRNE" hat 5 Buchstaben. Die Anzahl der möglichen Permutationen (Wörter) mit allen 5 Buchstaben ist gegeben durch die Fakultät der Anzahl der Buchstaben:
\[
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
\]
Es gibt also 120 verschiedene Wörter, die man mit allen Buchstaben des Wortes "BIRNE" bilden kann.

2. **Wörter mit 3 verschiedenen Buchstaben des Wortes "ORANGE":**
Das Wort "ORANGE" hat 6 Buchstaben. Zuerst müssen wir die Anzahl der möglichen Kombinationen von 3 Buchstaben aus diesen 6 berechnen. Dies wird durch die Binomialkoeffizienten dargestellt:
\[
\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
\]
Für jede dieser Kombinationen von 3 Buchstaben gibt es 3! Permutationen:
\[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
\]
Die Gesamtzahl der möglichen Wörter mit 3 verschiedenen Buchstaben des Wortes "ORANGE" ist daher:
\[
20 \times 6 = 120
\]

Daraus folgt, dass man mit allen Buchstaben des Wortes "BIRNE" ebenso viele Wörter (120) bilden kann wie mit jeweils 3 verschiedenen Buchstaben des Wortes "ORANGE" (ebenfalls 120).