1 Frage zu Tenenbaum

Der Beweis von Stanley Tennenbaum zur Irrationalität von \(\sqrt{2}\) ist besonders anschaulich, weil er auf eine geometrische Argumentation zurückgreift, die leicht verständlich ist. Hier ist eine vereinfachte Darstellung des Beweises: 1. **Annahme**: Angenommen, \(\sqrt{2}\) ist rational, das heißt, es gibt zwei ganze Zahlen \(a\) und \(b\) (mit \(b \neq 0\)), sodass \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\) und der Bruch \(\frac{a}{b}\) vollständig gekürzt ist (d.h. \(a\) und \(b\) sind teilerfremd). 2. **Quadratbildung**: Daraus folgt \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\), also \(2 = \frac{a^2}{b^2}\) und somit \(a^2 = 2b^2\). 3. **Parität**: Da \(a^2\) gerade ist (weil es das Doppelte einer ganzen Zahl ist), muss auch \(a\) gerade sein (denn das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade). Sei \(a = 2k\) für eine ganze Zahl \(k\). 4. **Einsetzen**: Setze \(a = 2k\) in die Gleichung \(a^2 = 2b^2\) ein: \((2k)^2 = 2b^2\), was zu \(4k^2 = 2b^2\) führt, also \(2k^2 = b^2\). 5. **Widerspruch**: Nun ist \(b^2\) ebenfalls gerade, was bedeutet, dass auch \(b\) gerade sein muss. Das steht im Widerspruch zur Annahme, dass \(\frac{a}{b}\) vollständig gekürzt ist, da sowohl \(a\) als auch \(b\) gerade sind und somit einen gemeinsamen Teiler von mindestens 2 haben. Dieser Beweis ist anschaulich, weil er auf einfache algebraische Manipulationen und grundlegende Eigenschaften von geraden und ungeraden Zahlen zurückgreift. Er vermeidet komplexe mathematische Konzepte und bleibt auf einem Niveau, das leicht nachvollziehbar ist.