1 Frage zu Senkrechte

Um die Senkrechte von Punkt P auf die Gerade g, die durch die Punkte A und B verläuft, zu konstruieren, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Gleichung der Geraden g**: - Zuerst berechnest du die Steigung \( m \) der Geraden, die durch die Punkte A (1, 4) und B (7, 1) verläuft: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 4}{7 - 1} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] 2. **Bestimme die Gleichung der Geraden g in der Punkt-Steigungsform**: - Verwende den Punkt A (1, 4) und die Steigung \( m = -\frac{1}{2} \): \[ y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 1) \] Dies vereinfacht sich zu: \[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + 4 = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} \] 3. **Bestimme die Steigung der Senkrechten**: - Die Steigung der Senkrechten ist der negative Kehrwert der Steigung der Geraden g: \[ m_{\text{senkrecht}} = 2 \] 4. **Bestimme die Gleichung der Senkrechten durch P**: - Verwende den Punkt P (-0,5, -1,5) und die Steigung \( m_{\text{senkrecht}} = 2 \): \[ y - (-1,5) = 2(x - (-0,5)) \] Dies vereinfacht sich zu: \[ y + 1,5 = 2(x + 0,5) \] \[ y + 1,5 = 2x + 1 \] \[ y = 2x - 0,5 \] 5. **Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden**: - Setze die Gleichungen gleich: \[ -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} = 2x - 0,5 \] Multipliziere die gesamte Gleichung mit 2, um die Brüche zu eliminieren: \[ -x + 9 = 4x - 1 \] \[ 9 + 1 = 4x + x \] \[ 10 = 5x \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] - Setze \( x = 2 \) in eine der beiden Gleichungen ein, um \( y \) zu finden: \[ y = -\frac{1}{2}(2) + \frac{9}{2} = -1 + \frac{9}{2} = \frac{7}{2} \] 6. **Schnittpunkt**: - Der Schnittpunkt der Senkrechten von P auf die Gerade g ist also \( (2, \frac{7}{2}) \). Damit hast du die Senkrechte von P auf die Gerade g konstruiert und den Schnittpunkt gefunden.