1 Frage zu Selbstadjungiert

Um zu zeigen, dass die lineare Abbildung \(\varphi: V \to V\), definiert durch \(\phi(x) = Ax\), normal, aber nicht unitär und auch nicht selbstadjungiert ist, müssen wir die Eigenschaften der Matrix \(A\) untersuchen. Hier sind die Schritte, die du befolgen kannst: 1. **Normalität**: Eine Matrix \(A\) ist normal, wenn \(A A^* = A^* A\), wobei \(A^*\) die adjungierte (konjugiert transponierte) Matrix von \(A\) ist. Um zu zeigen, dass \(\varphi\) normal ist, musst du überprüfen, ob diese Bedingung erfüllt ist. - Berechne \(A A^*\). - Berechne \(A^* A\). - Vergleiche die beiden Ergebnisse. Wenn sie gleich sind, ist \(A\) normal. 2. **Unitärität**: Eine Matrix \(A\) ist unitär, wenn \(A A^* = I\), wobei \(I\) die Einheitsmatrix ist. Um zu zeigen, dass \(\varphi\) nicht unitär ist, musst du überprüfen, ob diese Bedingung nicht erfüllt ist. - Berechne \(A A^*\). - Vergleiche das Ergebnis mit der Einheitsmatrix \(I\). Wenn sie nicht gleich sind, ist \(A\) nicht unitär. 3. **Selbstadjungiertheit**: Eine Matrix \(A\) ist selbstadjungiert (hermitesch), wenn \(A = A^*\). Um zu zeigen, dass \(\varphi\) nicht selbstadjungiert ist, musst du überprüfen, ob diese Bedingung nicht erfüllt ist. - Berechne \(A^*\). - Vergleiche \(A\) mit \(A^*\). Wenn sie nicht gleich sind, ist \(A\) nicht selbstadjungiert. ### Beispiel Angenommen, \(A\) ist eine \(4 \times 4\) Matrix. Hier ist ein Beispiel, wie du die Schritte durchführen kannst: 1. **Normalität**: Sei \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Berechne \(A^*\): \(A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Berechne \(A A^*\): \(A A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Berechne \(A^* A\): \(A^* A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \