1 Frage zu Rotationsvolumen

Um das Rotationsvolumen \( V \) des Körpers zu bestimmen, der durch die Drehung der Kurve \( y = \frac{\sqrt{x}}{1 + x^2} \) um die x-Achse erzeugt wird, verwendet man die Rotationsvolumenformel für die x-Achse. Diese Formel lautet: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Hier ist \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1 + x^2} \) und die Grenzen sind von \( x = 0 \) bis \( x \to \infty \). 1. **Quadrat der Funktion bestimmen:** \[ [f(x)]^2 = \left( \frac{\sqrt{x}}{1 + x^2} \right)^2 = \frac{x}{(1 + x^2)^2} \] 2. **Integral aufstellen:** \[ V = \pi \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x^2)^2} \, dx \] 3. **Substitution verwenden:** Um das Integral zu lösen, verwenden wir die Substitution \( u = 1 + x^2 \). Dann ist \( du = 2x \, dx \) oder \( dx = \frac{du}{2x} \). Wenn \( x = 0 \), dann \( u = 1 \). Wenn \( x \to \infty \), dann \( u \to \infty \). \[ V = \pi \int_{1}^{\infty} \frac{x}{u^2} \cdot \frac{du}{2x} = \pi \int_{1}^{\infty} \frac{1}{2u^2} \, du \] 4. **Integral vereinfachen und lösen:** \[ V = \frac{\pi}{2} \int_{1}^{\infty} u^{-2} \, du \] Das Integral von \( u^{-2} \) ist \( -u^{-1} \): \[ V = \frac{\pi}{2} \left[ -u^{-1} \right]_{1}^{\infty} \] 5. **Grenzen einsetzen:** \[ V = \frac{\pi}{2} \left( 0 - (-1) \right) = \frac{\pi}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{2} \] Das Rotationsvolumen \( V \) des Körpers ist also: \[ V = \frac{\pi}{2} \]