1 Frage zu Rotationskoerper

Um das Volumen und die Oberfläche eines Rotationskörpers zu berechnen, der aus einer Halbkugel besteht, aus der ein Zylinder ohne Grundfläche herausgefräst wurde, sind folgende Schritte notwendig: ### Volumen 1. **Volumen der Halbkugel:** Die Volumenformel für eine Halbkugel mit Radius \( r \) lautet: \[ V_{\text{Halbkugel}} = \frac{2}{3} \pi r^3 \] 2. **Volumen des Zylinders:** Angenommen, der Zylinder hat denselben Radius \( r \) und eine Höhe \( h \), dann lautet die Volumenformel für den Zylinder: \[ V_{\text{Zylinder}} = \pi r^2 h \] 3. **Volumen des Rotationskörpers:** Das Volumen des Rotationskörpers ergibt sich, indem das Volumen des Zylinders von dem der Halbkugel subtrahiert wird: \[ V_{\text{Rotationskörper}} = V_{\text{Halbkugel}} - V_{\text{Zylinder}} = \frac{2}{3} \pi r^3 - \pi r^2 h \] ### Oberfläche 1. **Oberfläche der Halbkugel:** Die Oberfläche einer Halbkugel (ohne die Grundfläche) beträgt: \[ A_{\text{Halbkugel}} = 2 \pi r^2 \] 2. **Oberfläche des Zylinders:** Da der Zylinder keine Grundfläche hat, besteht seine Oberfläche nur aus der Mantelfläche: \[ A_{\text{Zylinder}} = 2 \pi r h \] 3. **Oberfläche des Rotationskörpers:** Die Oberfläche des Rotationskörpers setzt sich aus der Oberfläche der Halbkugel und der Mantelfläche des Zylinders zusammen. Da der Zylinder aus der Halbkugel herausgefräst ist, bleibt die Mantelfläche des Zylinders erhalten: \[ A_{\text{Rotationskörper}} = A_{\text{Halbkugel}} + A_{\text{Zylinder}} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h \] Zusammengefasst: - **Volumen:** \[ V_{\text{Rotationskörper}} = \frac{2}{3} \pi r^3 - \pi r^2 h \] - **Oberfläche:** \[ A_{\text{Rotationskörper}} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h \] Diese Formeln gelten unter der Annahme, dass der Zylinder vollständig innerhalb der Halbkugel liegt und der Radius des Zylinders gleich dem Radius der Halbkugel ist.