2 Fragen zu Richtungsvektor

Ein Ortsvektor und ein Richtungsvektor sind beide Konzepte aus der Vektorgeometrie, aber sie haben unterschiedliche Bedeutungen und Anwendungen: 1. **Ortsvektor**: - Ein Ortsvektor ist ein Vektor, der von einem festen Ursprung (meistens der Nullpunkt des Koordinatensystems) zu einem bestimmten Punkt im Raum zeigt. - Er wird verwendet, um die Position eines Punktes im Raum relativ zum Ursprung zu beschreiben. - Beispiel: Der Ortsvektor \(\vec{r}\) eines Punktes \(P(x, y, z)\) ist \(\vec{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\). 2. **Richtungsvektor**: - Ein Richtungsvektor beschreibt die Richtung und den Betrag (Länge) einer Verschiebung im Raum, unabhängig von einem festen Ursprung. - Er wird verwendet, um die Richtung einer Geraden oder einer Bewegung zu beschreiben. - Beispiel: Ein Richtungsvektor \(\vec{d}\) könnte \(\vec{d} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) sein, wobei \(a\), \(b\) und \(c\) die Komponenten der Verschiebung in den jeweiligen Raumrichtungen sind. Zusammengefasst: Der Ortsvektor gibt die Position eines Punktes relativ zu einem Ursprung an, während der Richtungsvektor die Richtung und Länge einer Verschiebung oder einer Linie im Raum beschreibt.

Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, nutzt du den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Hier die wichtigsten Schritte: **1. Geradengleichung und Ebenengleichung:** - Gerade: \(\vec{g}(t) = \vec{p} + t \cdot \vec{r}\) (\(\vec{p}\): Stützvektor, \(\vec{r}\): Richtungsvektor) - Ebene: \(\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{q}) = 0\) (\(\vec{n}\): Normalenvektor, \(\vec{q}\): Stützvektor der Ebene) **2. Lagebeziehungen:** **a) Gerade parallel zur Ebene:** Die Gerade ist parallel zur Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{r}\) senkrecht zum Normalenvektor der Ebene \(\vec{n}\) steht, also: \[ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 \] - Falls die Gerade nicht in der Ebene liegt, ist sie echt parallel. - Liegt sie in der Ebene, ist sie eine Teilmenge der Ebene. **b) Gerade schneidet die Ebene:** Die Gerade schneidet die Ebene, wenn: \[ \vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0 \] In diesem Fall gibt es genau einen Schnittpunkt. Diesen erhältst du, indem du die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzt und nach \(t\) auflöst. **c) Gerade liegt in der Ebene:** Die Gerade liegt in der Ebene, wenn sie parallel zur Ebene ist (\(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\)) **und** ein Punkt der Geraden (z.B. \(\vec{p}\)) die Ebenengleichung erfüllt: \[ \vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) = 0 \] **Zusammenfassung:** - \(\vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0\): Schnittpunkt vorhanden. - \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) und \(\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) \neq 0\): Gerade ist parallel, aber nicht in der Ebene. - \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) und \(\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) = 0\): Gerade liegt in der Ebene. **Weitere Infos:** - [Gerade und Ebene im Raum – Mathebibel.de](https://www.mathebibel.de/gerade-und-ebene-im-raum) - [Lagebeziehungen – Serlo.org](https://de.serlo.org/mathe/1887/lagebeziehungen-gerade-ebene) So kannst du mit Richtungs- und Normalenvektor die Lage bestimmen.