1 Frage zu Raumkomponenten

Die Poisson-Klammer von zwei Funktionen \( f \) und \( g \) in der klassischen Mechanik ist definiert als: \[ \{f, g\} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} \right) \] Für die Raumkomponenten des Drehimpulses \( L_1, L_2 \) und \( L_3 \) in einem dreidimensionalen Raum sind die Komponenten des Drehimpulses \( L_i \) (mit \( i = 1, 2, 3 \)) definiert als: \[ L_1 = y p_z - z p_y \] \[ L_2 = z p_x - x p_z \] \[ L_3 = x p_y - y p_x \] Um die Poisson-Klammer \( \{L_1, L_2\} \) zu berechnen, wird die Definition der Poisson-Klammer angewendet: \[ \{L_1, L_2\} = \sum_{i=1}^3 \left( \frac{\partial L_1}{\partial q_i} \frac{\partial L_2}{\partial p_i} - \frac{\partial L_1}{\partial p_i} \frac{\partial L_2}{\partial q_i} \right) \] Hierbei sind \( q_i \) die Ortskoordinaten \( (x, y, z) \) und \( p_i \) die zugehörigen Impulskoordinaten \( (p_x, p_y, p_z) \). Durch Einsetzen der Ausdrücke für \( L_1 \) und \( L_2 \) ergibt sich: \[ \{L_1, L_2\} = \left( \frac{\partial (y p_z - z p_y)}{\partial x} \frac{\partial (z p_x - x p_z)}{\partial p_x} + \frac{\partial (y p_z - z p_y)}{\partial y} \frac{\partial (z p_x - x p_z)}{\partial p_y} + \frac{\partial (y p_z - z p_y)}{\partial z} \frac{\partial (z p_x - x p_z)}{\partial p_z} \right) - \left \frac{\partial (y p_z - z p_y)}{\partial} \frac{\partial (z p_x - x p_z)}{\partial x} + \frac{\partial (y p_z - z p_y)}{\partial p_y} \frac{\partial (z p_x - x p_z)}{\partial y} + \frac{\partial (y p_z - z p_y)}{\partial p_z} \frac{\partial (z p_x - x p_z)}{\partial z} \right) \] Nach der Berechnung der partiellen Ableitungen und Vereinfachung erhält man: \[ \{L_1, L_2\} = L_3 \] Dies zeigt, dass die Poisson-Klammer der Raumkomponenten des Drehimpulses die Strukturkonstanten des Drehimpulsalgebras erfüllt: \[ \{L_i, L_j\} = \epsilon_{ijk} L_k \] wobei \( \epsilon_{ijk} \) das Levi-Civita-Symbol ist.