1 Frage zu Praeordnung

Um die Mächtigkeit der Relation \( R \) zu bestimmen, die eine Präordnung auf einer Menge mit \( n = 7 \) ist, müssen wir die Eigenschaften einer Präordnung berücksichtigen: Reflexivität, Transitivität und Vollständigkeit. 1. **Reflexivität**: Für jede \( a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) muss \( (a, a) \in R \) gelten. Das bedeutet, dass wir mindestens 7 Paare hinzufügen müssen: \( (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (, 7) \). 2. **Transitivität**: Wenn \( (a, b) \in R \) und \( (b, c) \in R \), dann muss auch \( (a, c) \in R \) gelten. Dies erfordert, dass wir darauf achten, wie die Paare miteinander verbunden sind. 3. **Vollständigkeit**: Für alle \( a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) muss entweder \( (a, b) \in R \) oder \( (b, a) \in R \) gelten. Das bedeutet, dass für jedes Paar von Elementen in der Menge eine Beziehung bestehen muss. Gegeben sind die Paare \( (1, 7) \) und \( (2, 6) \). Um die Relation vollständig zu machen, müssen wir alle möglichen Paare hinzufügen, die die oben genannten Eigenschaften erfüllen. Da die Relation vollständig ist, müssen wir für jedes der 7 Elemente eine Beziehung zu jedem anderen Element haben. Das bedeutet, dass wir insgesamt \( 7 \times 7 = 49 \) mögliche Paare haben. Da die Reflexivität bereits 7 Paare (eigenen Paare) erfordert und die Vollständigkeit sicherstellt, dass für jedes Paar eine Beziehung besteht, ist die kleinste Mächtigkeit von \( R \), die alle Bedingungen erfüllt, 49. Somit ist die Mächtigkeit von \( R \) gleich \( |R| = 49 \).