2 Fragen zu Poisson

Die Poisson-Klammer von zwei Funktionen \( f \) und \( g \) in der klassischen Mechanik ist definiert als: \[ \{f, g\} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} \right) \] Für die Raumkomponenten des Drehimpulses \( L_1, L_2 \) und \( L_3 \) in einem dreidimensionalen Raum sind die Komponenten des Drehimpulses \( L_i \) (mit \( i = 1, 2, 3 \)) definiert als: \[ L_1 = y p_z - z p_y \] \[ L_2 = z p_x - x p_z \] \[ L_3 = x p_y - y p_x \] Um die Poisson-Klammer \( \{L_1, L_2\} \) zu berechnen, wird die Definition der Poisson-Klammer angewendet: \[ \{L_1, L_2\} = \sum_{i=1}^3 \left( \frac{\partial L_1}{\partial q_i} \frac{\partial L_2}{\partial p_i} - \frac{\partial L_1}{\partial p_i} \frac{\partial L_2}{\partial q_i} \right) \] Hierbei sind \( q_i \) die Ortskoordinaten \( (x, y, z) \) und \( p_i \) die zugehörigen Impulskoordinaten \( (p_x, p_y, p_z) \). Durch Einsetzen der Ausdrücke für \( L_1 \) und \( L_2 \) ergibt sich: \[ \{L_1, L_2\} = \left( \frac{\partial (y p_z - z p_y)}{\partial x} \frac{\partial (z p_x - x p_z)}{\partial p_x} + \frac{\partial (y p_z - z p_y)}{\partial y} \frac{\partial (z p_x - x p_z)}{\partial p_y} + \frac{\partial (y p_z - z p_y)}{\partial z} \frac{\partial (z p_x - x p_z)}{\partial p_z} \right) - \left \frac{\partial (y p_z - z p_y)}{\partial} \frac{\partial (z p_x - x p_z)}{\partial x} + \frac{\partial (y p_z - z p_y)}{\partial p_y} \frac{\partial (z p_x - x p_z)}{\partial y} + \frac{\partial (y p_z - z p_y)}{\partial p_z} \frac{\partial (z p_x - x p_z)}{\partial z} \right) \] Nach der Berechnung der partiellen Ableitungen und Vereinfachung erhält man: \[ \{L_1, L_2\} = L_3 \] Dies zeigt, dass die Poisson-Klammer der Raumkomponenten des Drehimpulses die Strukturkonstanten des Drehimpulsalgebras erfüllt: \[ \{L_i, L_j\} = \epsilon_{ijk} L_k \] wobei \( \epsilon_{ijk} \) das Levi-Civita-Symbol ist.

Bei der Poisson-Verteilung ist der Parameter \(\lambda\) (lambda) von zentraler Bedeutung. Dieser Parameter repräsentiert die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen, die in einem festen Intervall (z.B. Zeit, Fläche, Volumen) auftreten. Die Poisson-Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu modellieren, dass eine bestimmte Anzahl von Ereignissen in diesem Intervall auftritt, wenn die Ereignisse unabhängig voneinander und zufällig verteilt sind. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung ist gegeben durch: \[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] wobei: - \( P(X = k) \) die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau \( k \) Ereignisse in einem Intervall auftreten, - \( \lambda \) der Durchschnittswert (Erwartungswert) der Ereignisse pro Intervall ist, - \( k \) die Anzahl der Ereignisse ist (kann 0, 1, 2, ... sein), - \( e \) die Eulersche Zahl (ungefähr 2,71828) ist. Der Parameter \(\lambda\) ist somit der Schlüssel zur Bestimmung der Form und Lage der Poisson-Verteilung.