1 Frage zu Partialsummen

Die Bedingung, dass die Partialsummen \( s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \) beschränkt sind, ist notwendig für die Konvergenz der Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \). Wenn die Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \) konvergiert, dann müssen die Partialsummen \( s_n \) einen Grenzwert haben, was bedeutet, dass sie beschränkt sind. Allerdings ist die Beschränktheit der Partialsummen nicht hinreichend für die Konvergenz der Reihe. Es gibt Reihen, deren Partialsummen beschränkt sind, aber die Reihe selbst divergiert, wie zum Beispiel die alternierende harmonische Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} \), deren Partialsummen zwar beschränkt sind, aber nicht konvergieren. Zusammenfassend: Die Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend für die Konvergenz der Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \).