1 Frage zu Numerik

Das Thomas-Verfahren ist ein numerisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme, die eine tridiagonale Matrix als Koeffizientenmatrix besitzen. Es handelt sich um eine spezielle, effiziente Variante des Gaußschen Eliminationsverfahrens, die speziell für tridiagonale Matrizen optimiert ist. Tridiagonale Matrizen treten häufig bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen auf, zum Beispiel bei der Lösung von eindimensionalen Wärmeleitungs- oder Diffusionsproblemen. Das Thomas-Verfahren besteht aus zwei Schritten: 1. **Vorwärtselimination:** Die Matrix wird so umgeformt, dass sie eine obere Dreiecksform erhält. 2. **Rückwärtseinsetzen:** Die Lösung des Gleichungssystems wird durch Rückwärtseinsetzen berechnet. Das Verfahren ist sehr effizient, da es nur \(O(n)\) Rechenoperationen benötigt (im Gegensatz zu \(O(n^3)\) beim allgemeinen Gauß-Verfahren), wobei \(n\) die Anzahl der Gleichungen ist. **Anwendungsbeispiel:** Gegeben sei das Gleichungssystem \[ \begin{align*} b_1 x_1 + c_1 x_2 &= d_1 \\ a_2 x_1 + b_2 x_2 + c_2 x_3 &= d_2 \\ \vdots \\ a_n x_{n-1} + b_n x_n &= d_n \end{align*} \] Das Thomas-Verfahren löst dieses System effizient. **Weitere Informationen:** - [Wikipedia: Thomas-Algorithmus](https://de.wikipedia.org/wiki/Thomas-Algorithmus)