1 Frage zu Grundmenge

Um quadratische Gleichungen in der Grundmenge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) zu lösen, kannst du die allgemeine Form der quadratischen Gleichung verwenden: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] Hier sind \(a\), \(b\) und \(c\) reelle Zahlen, wobei \(a \neq 0\). Es gibt mehrere Methoden, um diese Gleichung zu lösen: 1. **Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel)**: Die Lösungen der quadratischen Gleichung können mit der folgenden Formel gefunden werden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Dabei ist \(\Delta = b^2 - 4ac\) die Diskriminante. Die Diskriminante bestimmt die Art der Lösungen: - Wenn \(\Delta > 0\), gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. - Wenn \(\Delta = 0\), gibt es eine doppelte reelle Lösung. - Wenn \(\Delta < 0\), gibt es keine reellen Lösungen (die Lösungen sind komplex). 2. **Faktorisierung**: Wenn die quadratische Gleichung faktorisierbar ist, kann sie in der Form \((px + q)(rx + s) = 0\) geschrieben werden. Die Lösungen sind dann die Werte von \(x\), die die Faktoren null machen: \[ x = -\frac{q}{p} \quad \text{und} \quad x = -\frac{s}{r} \] 3. **Quadratische Ergänzung**: Diese Methode besteht darin, die Gleichung in eine vollständige quadratische Form zu bringen. Hier ist ein Beispiel: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] \[ a(x^2 + \frac{b}{a}x) = -c \] \[ a(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2) = -c + a(\frac{b}{2a})^2 \] \[ a(x + \frac{b}{2a})^2 = -c + \frac{b^2}{4a} \] \[ (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \] \[ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \] \[ x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Dies führt zur gleichen Lösung wie die Mitternachtsformel. Diese Methoden helfen dir, quadratische Gleichungen in der Grundmenge der reellen Zahlen zu lösen.